← Трапеция (№23–25) · на главную · скачать PDF для печати

Трапеция: теория и устный опрос

Задания 17–19 (часть 1) и 23–25 (часть 2). Печать: 2 листа A4. Определения и теоремы записаны близко к учебнику Л. С. Атанасяна «Геометрия, 7–9».

1. Трапеция

Трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами.

В записи ABCD с основаниями AD и BC: a = AD — большее основание, b = BC — меньшее, c = AB и d = CD — боковые стороны.

ABCDMNH
AD ∥ BC; MN — средняя линия; BH — высота

2. Средняя линия

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме: m = (a + b) / 2.

Следствие: сумма оснований равна удвоенной средней линии, a + b = 2m. Если известна средняя линия и одно основание, второе находится сразу.

3. Высота и площадь

Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведённый из любой точки одного основания к прямой, содержащей другое основание. Теорема. Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту: S = (a + b) / 2 · h = m · h.

Откуда формула: две одинаковые трапеции складываются в параллелограмм со стороной a + b и высотой h, его площадь (a + b)h, половина даёт S.

4. Углы

Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180°.

∠A + ∠B = 180° и ∠C + ∠D = 180°: это односторонние углы при BC ∥ AD и секущих AB и CD.

5. Равнобедренная трапеция

Трапеция называется равнобедренной, если её боковые стороны равны. В равнобедренной трапеции углы при основании равны и диагонали равны.
ABCDHK(a−b)/2(a−b)/2b
BH и CK — высоты; AH = KD = (a − b) / 2

Высота из вершины тупого угла делит большее основание на отрезки (a − b) / 2 и (a + b) / 2. Из прямоугольного треугольника ABH: h² = c² − ((a − b) / 2)².

6. Прямоугольная трапеция

Трапеция называется прямоугольной, если один из её углов прямой. Тогда прямые углы два, а меньшая боковая сторона равна высоте.

Большая боковая сторона: c² = h² + (a − b)².

7. Диагонали трапеции

ABCDO
O — точка пересечения диагоналей
  1. Треугольники BOC и DOA подобны по двум углам, k = BC : AD, AO : OC = AD : BC.
  2. Отношение площадей подобных треугольников равно k².
  3. S(AOB) = S(COD), так как S(ABD) = S(ACD).

8. Вписанная и описанная окружности

В выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны. Для трапеции: AD + BC = AB + CD, и тогда h = 2r. Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобедренная.

9. Четыре приёма в задачах №23–25

  1. Две высоты. Трапеция делится на прямоугольник и два прямоугольных треугольника. Нужна равнобедренная или прямоугольная трапеция.
  2. Перенос боковой стороны. Через вершину провести прямую, параллельную боковой стороне: параллелограмм и треугольник со сторонами c, d и a − b. Его высота равна высоте трапеции.
  1. Перенос диагонали. Через вершину провести прямую, параллельную диагонали: треугольник со сторонами d₁, d₂ и a + b. Его площадь равна площади трапеции.
  2. Продолжить боковые стороны до пересечения: получатся подобные треугольники, коэффициент a : b.

Вопросы для устного опроса (с ответами для учителя)

Опрос — 5 минут в начале урока: выбрать 5–6 вопросов подряд, ответ без подготовки. Ошибку не поправлять сразу, записать и вернуться.

№ВопросОтвет
1Дайте определение трапеции. Как называются её стороны?Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны — основания, непараллельные — боковые стороны.
2Что называется средней линией трапеции?Отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
3Основания трапеции 6 и 10. Чему равна средняя линия?(6 + 10) / 2 = 8. Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме.
4Запишите формулу площади трапеции.S = (a + b) / 2 · h = m · h: полусумма оснований на высоту.
5Что такое высота трапеции? Сколько высот можно провести?Перпендикуляр из любой точки одного основания к прямой, содержащей другое основание. Высот бесконечно много, все равны (расстояние между параллельными прямыми).
6Чему равна сумма двух углов трапеции, прилежащих к боковой стороне? Почему?180°: это односторонние углы при параллельных основаниях и секущей — боковой стороне.
7Какая трапеция называется равнобедренной? Два её свойства.Боковые стороны равны. Углы при основании равны; диагонали равны.
8Углы при меньшем основании равнобедренной трапеции острые или тупые?Тупые. Углы при большем основании острые, а угол при меньшем основании дополняет его до 180°.
9Высота из вершины тупого угла равнобедренной трапеции делит большее основание. На какие отрезки?Меньший равен (a − b) / 2, больший (a + b) / 2.
10Какая трапеция называется прямоугольной? Чему равна её меньшая боковая сторона?Один из углов прямой (тогда прямые два угла). Меньшая боковая сторона перпендикулярна основаниям и равна высоте.
11Диагонали трапеции пересекаются в O. Какие два треугольника подобны? Чему равен коэффициент?BOC и DOA (при основаниях), k = BC : AD. Тогда AO : OC = DO : OB = AD : BC.
12Какие два из четырёх треугольников при диагоналях имеют равные площади?AOB и COD (при боковых сторонах): S(ABD) = S(ACD), вычитаем общий AOD.
13Когда в трапецию можно вписать окружность? Чему тогда равна высота?Когда суммы противоположных сторон равны: AD + BC = AB + CD. Высота равна диаметру: h = 2r.
14Около какой трапеции можно описать окружность?Только около равнобедренной.
15Известны обе боковые стороны и основания. Какое построение помогает найти площадь?Через вершину провести прямую, параллельную боковой стороне: получится параллелограмм и треугольник со сторонами c, d и (a − b).