Памятка · трапеция: алгоритм и оформление (№23–25)
Печать: 1–2 листа A4. Образцы записи внизу.
Алгоритм решения задачи про трапецию
- Чертёж и данные. Нарисуйте трапецию ABCD, основания AD и BC. Впишите все числа. Чертёж нужен вам: красота чертежа не оценивается.
- Вид трапеции. Произвольная, равнобедренная, прямоугольная? Есть вписанная или описанная окружность? Диагонали перпендикулярны?
- Построение. Выберите одно: две высоты; перенос боковой стороны (a − b, c, d); перенос диагонали (a + b, d₁, d₂); продолжение боковых сторон; диагонали и подобие BOC и DOA.
- Цепочка. Обозначьте неизвестное буквой и найдите недостающие отрезки по одному, каждый раз называя теорему или свойство.
- Формула. Запишите S = (a + b) / 2 · h или нужную величину и подставьте числа.
- Проверка и ответ. Высота меньше боковой стороны, средняя линия между основаниями, ответ отвечает на вопрос задачи (площадь, а не высота). Запишите «Ответ: …».
| Что дано | Построение |
|---|
| Равнобедренная трапеция, даны основания и боковая | Две высоты, (a − b)/2, теорема Пифагора |
| Даны обе боковые стороны | Перенос боковой стороны, треугольник c, d, a − b |
| Даны диагонали и сумма оснований (средняя линия) | Перенос диагонали, треугольник d₁, d₂, a + b |
| Вписанная окружность | AD + BC = AB + CD, h = 2r |
| Площади треугольников при диагоналях | Подобие BOC и DOA, площади k², AOB = COD |
Как оформить, чтобы эксперт не снял баллы
По методическим рекомендациям ФИПИ 2026 (критерии заданий 23–25).
Баллы за №23 и №25 (по 2 балла). 2 балла: ход верный, все шаги выполнены правильно, ответ верный. 1 балл: решение в целом верное, но есть несущественные недостатки или вычислительная ошибка. 0 баллов: всё остальное, в том числе существенная геометрическая ошибка при верном числе.
№24 (доказательство, 2 балла). 2 балла: доказательство верное, все шаги обоснованы. 1 балл: в целом верное, но с несущественными недостатками.
Что эксперту не важно
- Аккуратность чертежа: он только иллюстрация.
- «Дано / Найти» и красивая рамка: оценивается только решение.
- Нерациональный способ и лишние рассуждения.
- Описка, отсутствие значка градуса, не поясняющие слова.
- Ссылки на факты из учебников: доказывать формулу площади трапеции или теорему Пифагора не нужно.
Где теряют баллы
- Вычисления. Верный ход и арифметическая ошибка дают 1 балл. Пересчитайте всё второй раз.
- Неверное утверждение. «Высота делит основание пополам» (в равнобедренной трапеции: на (a − b)/2 и (a + b)/2). «Диагонали трапеции равны» без условия.
- Необоснованный ключевой шаг. «Треугольники подобны» без углов; «O — середина» без причины.
- Частный случай. В доказательстве нельзя подставлять числа и ссылаться на чертёж: «видно по рисунку».
- Нетиповой факт без вывода. Формулу вроде (√S₁ + √S₂)² выведите по ходу решения.
Образец записи №23. Основания трапеции 11 и 25, боковые стороны 13 и 15. Найдите площадь.
Пусть ABCD — трапеция, AD ∥ BC, AD = 25, BC = 11, AB = 13, CD = 15. Проведём CE ∥ AB, E на AD. ABCE — параллелограмм (BC ∥ AE, AB ∥ CE), поэтому AE = BC = 11, CE = AB = 13, ED = 25 − 11 = 14. В треугольнике CED стороны 13, 14, 15, p = 21, по формуле Герона S = √(21 · 8 · 7 · 6) = 84. Высота CH = 2S / ED = 2 · 84 / 14 = 12; это высота трапеции. S(ABCD) = (25 + 11) / 2 · 12 = 216.
Ответ: 216.
Образец записи №24. Диагонали AC и BD трапеции ABCD с основаниями AD и BC пересекаются в точке O. Докажите, что S(AOB) = S(COD).
Треугольники ABD и ACD имеют общее основание AD, а их высоты равны, так как BC ∥ AD (расстояние между параллельными прямыми постоянно). Значит, S(ABD) = S(ACD). Но S(ABD) = S(AOB) + S(AOD), S(ACD) = S(COD) + S(AOD). Вычитая S(AOD), получаем S(AOB) = S(COD). Что и требовалось доказать.
Ответ в №23. Единицы измерения не обязательны. Если получилась дробь, оставьте дробь или запишите десятичную, но не округляйте без просьбы в условии.