← Трапеция (№23–25) · на главную · скачать PDF для печати

Зачётный лист · трапеция (3 уровня)

Фамилия, имя: ______________________   Дата: ________   Время: 45 минут. Уровень 3 оформляйте полностью, как на экзамене. Выполняйте чертёж.

Уровень 1 · на «3» · 5 заданий по 1 баллу
1.1. Основания трапеции равны 12 и 18, высота равна 7. Найдите площадь трапеции.
Ответ:
1.2. Средняя линия трапеции равна 15, а основания относятся как 2 : 3. Найдите меньшее основание.
Ответ:
1.3. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC угол A равен 64°. Найдите угол B.
Ответ:
1.4. Периметр равнобедренной трапеции равен 50, боковая сторона равна 11. Найдите среднюю линию трапеции.
Ответ:
1.5. В прямоугольной трапеции основания равны 4 и 10, а меньшая боковая сторона равна 8. Найдите площадь трапеции.
Ответ:
Уровень 2 · на «4» · 3 задания по 2 балла
2.1. Основания равнобедренной трапеции равны 13 и 31, боковая сторона равна 15. Найдите площадь трапеции. Запишите решение.
Ответ:
2.2. Диагонали AC и BD трапеции ABCD с основаниями AD и BC пересекаются в точке O. Найдите AO, если AD = 12, BC = 8, AC = 15. Запишите решение.
Ответ:
2.3. В равнобедренную трапецию с основаниями 8 и 18 вписана окружность. Найдите радиус этой окружности. Запишите решение.
Ответ:
Уровень 3 · на «5» · 3 задания по 2 балла
3.1. Боковые стороны трапеции равны 10 и 17, а основания равны 9 и 30. Найдите площадь трапеции.
Ответ:
3.2. Докажите, что диагонали равнобедренной трапеции равны.
Ответ:
3.3. Диагонали трапеции равны 15 и 20, а её средняя линия равна 12,5. Найдите площадь трапеции.
Ответ:
Ответы и ключевые точки проверки (для учителя).
№ОтветКлючевые точки
1.1105(12 + 18)/2 · 7 = 15 · 7.
1.212a + b = 2m = 30, части 2x и 3x: 5x = 30, x = 6, меньшее 12.
1.3116∠A + ∠B = 180°: 180° − 64° = 116°.
1.414a + b = 50 − 2 · 11 = 28, m = 14.
1.556(4 + 10)/2 · 8 = 7 · 8. Меньшая боковая сторона равна высоте.
2.1264(31 − 13)/2 = 9, h = √(15² − 9²) = 12, S = (13 + 31)/2 · 12 = 264.
2.29BOC и DOA подобны, AO : OC = AD : BC = 12 : 8 = 3 : 2, AO = 15 · 3/5 = 9.
2.36Равнобедренная, описанная: боковая сторона = (8 + 18)/2 = 13. (18 − 8)/2 = 5, h = √(169 − 25) = 12, r = h/2 = 6.
3.1156CE ∥ AB, E на AD: AE = BC = 9, CE = AB = 10, ED = 30 − 9 = 21. Треугольник CED: 10, 17, 21, p = 24, S = √(24 · 14 · 7 · 3) = 84, CH = 2 · 84 / 21 = 8. S = (9 + 30)/2 · 8 = 156.
3.2доказательствоТреугольники ABD и DCA: AB = CD (дано), AD общая, ∠BAD = ∠CDA (углы при основании равнобедренной трапеции). Значит, △ABD = △DCA по двум сторонам и углу между ними, BD = CA. Если свойство углов не принято без доказательства, обосновать через высоты BK и CH.
3.3150a + b = 2 · 12,5 = 25. Через C проведём CE ∥ BD, E на прямой AD: BCED — параллелограмм, DE = BC, CE = BD = 20, AE = AD + BC = 25. В треугольнике ACE: 15² + 20² = 25², он прямоугольный, S = ½ · 15 · 20 = 150. S(ACE) = ½ · AE · h = ½ (a + b) h = S(ABCD).

Баллы. Максимум 17 (5 + 6 + 6). Уровни 2 и 3: 2 балла — верный ход, верный ответ или полное доказательство; 1 балл — решение в целом верное, но несущественные недостатки или вычислительная ошибка; 0 — иначе (критерии по методрекомендациям ФИПИ 2026).

Оценка (предложение, подстройте под ученика). «3» — уровень 1 не меньше 3 баллов. «4» — уровень 1 не меньше 4 баллов и уровень 2 не меньше 4 баллов. «5» — уровни 1 и 2 как для «4» и уровень 3 не меньше 4 баллов. Если уровень 1 ниже 3 баллов: вернуться к теории (правила 1–6) и повторить пятиминутку.