Оформите каждую задачу полностью, как на экзамене: чертёж, ход решения с обоснованием шагов, ответ. Образец записи — в памятке.
1. Диагонали AC и BD трапеции ABCD с основаниями AD и BC пересекаются в точке O. Площади треугольников BOC и AOD равны 9 и 16. Найдите площадь трапеции.
Ответ:
2. В равнобедренной трапеции основания равны 12 и 20, а диагонали перпендикулярны. Найдите площадь трапеции.
Ответ:
3. Основания трапеции равны 12 и 33, а боковые стороны равны 13 и 20. Найдите площадь трапеции.
Ответ:
4. Около окружности радиуса 4 описана прямоугольная трапеция, большая боковая сторона которой равна 10. Найдите площадь трапеции.
Ответ:
Ответы и ключевые точки проверки (для учителя и родителей).
1) 49.(диагонали и площади (как задача 1)) Ключевые точки: Треугольники BOC и DOA подобны, k² = 9/16, k = 3/4, AO : OC = 4 : 3. S(AOB) = 9 · 4/3 = 12 (общая высота из B). S(COD) = S(AOB) = 12 (S(ABD) = S(ACD)). Сумма: 9 + 16 + 12 + 12 = 49.
2) 256.(равнобедренная, диагонали ⟂ (чертёж и высота)) Ключевые точки: O — точка пересечения диагоналей. Треугольники ABD и DCA равны, поэтому ∠OAD = ∠ODA и OA = OD. Угол AOD прямой, значит, треугольник AOD равнобедренный прямоугольный: высота из O на AD равна AD/2 = 10. Так же высота из O на BC равна BC/2 = 6. Высота трапеции 10 + 6 = 16, S = (12 + 20)/2 · 16 = 256. (Общее правило: у такой трапеции высота равна полусумме оснований, S = h².)
3) 270.(боковые стороны, перенос боковой стороны (как задача 3)) Ключевые точки: CE ∥ AB, E на AD: ABCE — параллелограмм, AE = 12, CE = 13, ED = 33 − 12 = 21. Треугольник CED со сторонами 13, 20, 21: p = 27, S = √(27 · 14 · 7 · 6) = 126. Высота CH = 2 · 126 / 21 = 12. S = (12 + 33)/2 · 12 = 270.
4) 72.(вписанная окружность в прямоугольную трапецию (как задача 4)) Ключевые точки: Высота равна диаметру: h = 8, AB = 8. Описанный четырёхугольник: AD + BC = AB + CD = 8 + 10 = 18. S = 18/2 · 8 = 72. Проверка: AD − BC = √(10² − 8²) = 6, значит AD = 12, BC = 6; r = S/p = 72/18 = 4.
Как проверять. Ответ без хода решения не засчитывается. Ход верный, а ошибка в вычислении — 1 балл из 2. Задача 1: проверить, что подобие обосновано (углы при BC ∥ AD) и найдены оба боковых треугольника. Задача 2: проверить, что показано OA = OD, а не принято на глаз. Задача 3: проверить, что параллелограмм обоснован (BC ∥ AE и AB ∥ CE). Задача 4: типичная ошибка — принять высоту за радиус, получится 18 вместо 72.