← Графики функций (№22) · на главную · скачать PDF для печати

Графики функций: теория и устный опрос

Задания 11 и 22 ОГЭ (22 — часть 2, 2 балла). Печать: 2 листа A4 теории и лист устного опроса. Определения и правила записаны близко к школьному учебнику (алгебра, 9 класс).

1. Функция и её график

Функцией называется зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению x соответствует единственное значение y. Переменную x называют независимой переменной (аргументом), переменную y — зависимой переменной (значением функции).

Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

Точка (x₀; y₀) лежит на графике, если при подстановке получается верное равенство y₀ = f(x₀). Нули функции — значения x, при которых y = 0 (точки пересечения с осью Ox). Значение функции при x = 0 — точка пересечения с осью Oy. Область определения — все значения x, при которых формула имеет смысл (знаменатель не равен нулю).

2. Линейная функция

Линейной функцией называется функция вида y = kx + b, где x — независимая переменная, k и b — числа. Графиком линейной функции является прямая.

k — угловой коэффициент: при k > 0 функция возрастает (график идёт вверх слева направо), при k < 0 убывает.
b — ордината точки пересечения с осью Oy: точка (0; b). При b = 0 получаем y = kx — прямую, проходящую через начало координат.
Прямые y = k₁x + b₁ и y = k₂x + b₂ параллельны, если k₁ = k₂ и b₁ ≠ b₂.
Строят по двум точкам. Прямая через (x₁; y₁) и (x₂; y₂) имеет k = y₂ − y₁x₂ − x₁.

3. Квадратичная функция

Квадратичной функцией называется функция вида y = ax² + bx + c, где a, b, c — числа, a ≠ 0. Графиком является парабола.

Что смотрим	Как находим
Ветви	a > 0 — вверх, a < 0 — вниз
Вершина	x₀ = −b2a, y₀ = y(x₀)
Ось симметрии	прямая x = x₀
Пересечение с Oy	точка (0; c)
Нули	корни ax² + bx + c = 0: при D > 0 два, при D = 0 один (парабола касается Ox), при D < 0 нет
Наименьшее / наибольшее значение	a > 0 — наименьшее y₀; a < 0 — наибольшее y₀

Если y = a(x − x₀)² + y₀, вершина сразу видна: (x₀; y₀). От вершины при a = 1: на 1 вправо и влево — вверх на 1, на 2 — на 4, на 3 — на 9.

y = x² − 2x − 3 = (x − 1)² − 4

4. Обратная пропорциональность

Функция вида y = kx, где k ≠ 0, называется обратной пропорциональностью. Область определения — все числа, кроме 0. Графиком является гипербола.

При k > 0 ветви лежат в I и III четвертях, при k < 0 — во II и IV. Оси координат — асимптоты: график к ним приближается, но не пересекает. Для любой точки графика xy = k.

5. Модуль и графики с модулем

Модулем числа x называется само число x, если x ≥ 0, и противоположное ему число −x, если x < 0. |x| = x при x ≥ 0; |x| = −x при x < 0.

y = |f(x)|. Часть графика y = f(x), лежащая выше оси Ox (и на ней), остаётся; часть ниже оси Ox отражается симметрично относительно оси Ox вверх.
y = f(|x|). Правая часть (x ≥ 0) остаётся, левая — её симметричное отражение относительно оси Oy. Функция чётная.
Модуль вместе с x (например, y = x|x| − 2|x|). Раскрываем модуль отдельно при x ≥ 0 и при x < 0, получаем две формулы и строим каждую только на своём промежутке.

y = |x² − 4x|: пунктир — часть исходной параболы, которая отражена

6. Кусочно заданная функция

Функция может быть задана разными формулами на разных промежутках изменения аргумента. Каждую формулу строят только на её промежутке.

Если неравенство строгое (<, >), конец промежутка не принадлежит этому куску: рисуем выколотую точку (пустой кружок). Если нестрогое (≤, ≥), точка принадлежит графику: рисуем закрашенную. На стыке значения кусков могут не совпадать (разрыв).

7. Дробь и выколотая точка

Разложить числитель и знаменатель на множители.
До сокращения записать, при каких x знаменатель равен нулю: эти значения не входят в область определения.
Сократить дробь.
Построить график получившейся функции.
Точки с исключёнными абсциссами выколоть; их ординаты найти по сокращённой формуле.

Пример. y = x² − 9x − 3 = (x − 3)(x + 3)x − 3 = x + 3 при x ≠ 3. График — прямая y = x + 3 без точки (3; 6).

8. Прямые y = m и y = kx: общие точки

Число общих точек графика функции y = f(x) и прямой y = m равно числу решений уравнения f(x) = m.

y = m — горизонтальная прямая. Двигаем её снизу вверх и считаем общие точки. Число точек меняется только в особых положениях: на уровне вершин, концов кусков (закрашенных и выколотых точек), выколотых точек. Каждое такое m проверяем отдельно. В ответ — значения m и промежутки (строгие и нестрогие неравенства).

y = kx — прямая через начало координат; вращаем её вокруг O. Особые положения: прямая проходит через выколотую точку (x₀; y₀), тогда k = y₀x₀; k = 0 (ось Ox); касание (D = 0).

y = x² − 2|x| − 3: прямая y = −3 имеет ровно три общие точки

9. Задание 11: соответствие графиков и формул

y = kx + b: k > 0 — вверх, k < 0 — вниз; b > 0 — пересекает Oy выше O, b < 0 — ниже.
y = ax² + bx + c: a > 0 — ветви вверх; c — точка пересечения с Oy; знак b определяют по вершине x₀ = −b2a.
y = kx: k > 0 — I и III четверти, k < 0 — II и IV.
Сначала определяем вид графика (прямая, парабола, гипербола), затем знаки; каждый признак исключает варианты. Ответ — цифры подряд без пробелов в порядке А, Б, В.

Вопросы для устного опроса (с ответами)

Ученику читают вопрос, ответ закрыт. Ответ «примерно» засчитывается, если сохранён смысл правила. Для 5-минутного опроса: вопросы 1, 6, 11, 14, 16.

№	Вопрос	Ответ
1	Что называется функцией?	Зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению x соответствует единственное значение y.
2	Что называется графиком функции?	Множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.
3	Как проверить, лежит ли точка (2; −1) на графике y = x − 3?	Подставить: −1 = 2 − 3, равенство верно, точка лежит на графике.
4	Что такое нули функции и как их найти?	Значения x, при которых y = 0. Решить уравнение f(x) = 0; это точки пересечения с осью Ox.
5	Что показывают k и b в формуле y = kx + b?	k — угловой коэффициент (при k > 0 функция возрастает, при k < 0 убывает); b — ордината точки пересечения с осью Oy.
6	Как найти вершину параболы y = ax² + bx + c?	x₀ = −b/(2a), затем y₀ = y(x₀).
7	От чего зависит направление ветвей параболы?	От знака коэффициента a: при a > 0 вверх, при a < 0 вниз.
8	Сколько нулей у квадратичной функции и от чего это зависит?	Два, один или ни одного — по знаку дискриминанта: D > 0, D = 0, D < 0.
9	Где расположена гипербола y = k/x при k < 0?	Во II и IV четвертях.
10	Что называется модулем числа?	Само число, если оно неотрицательно, и противоположное ему число, если оно отрицательно.
11	Как из графика y = f(x) получить график y = \|f(x)\|?	Часть графика ниже оси Ox отразить симметрично относительно оси Ox вверх; остальное оставить.
12	Как из графика y = f(x) получить график y = f(\|x\|)?	Правую часть (x ≥ 0) оставить, левую получить симметричным отражением правой относительно оси Oy.
13	Как строить график функции с x\|x\|?	Раскрыть модуль отдельно при x ≥ 0 и при x < 0; каждую получившуюся формулу строить только на своём промежутке.
14	Что такое выколотая точка и когда она появляется?	Точка, не принадлежащая графику. Появляется там, где знаменатель исходной дроби равен нулю, и на конце промежутка при строгом неравенстве.
15	Как найти ординату выколотой точки?	Подставить её абсциссу в сокращённую формулу.
16	Чему равно число общих точек графика и прямой y = m?	Числу решений уравнения f(x) = m. Прямую двигают снизу вверх и считают точки; особые значения m проверяют отдельно.
17	Чем отличаются прямые y = m и y = kx?	y = m горизонтальна; y = kx проходит через начало координат.
18	Как найти k, при котором прямая y = kx проходит через точку (x₀; y₀)?	k = y₀/x₀ (при x₀ ≠ 0).
19	Как записать ответ в задании 22?	Перечислить значения параметра и промежутки, проверив каждый конец (строгое или нестрогое неравенство).

Типичные ошибки (на что смотреть)

Парабола или гипербола нарисована «от руки» без таблицы значений и без вершины.
При x ≥ 0 и x < 0 обе формулы построены целиком, а не на своих промежутках.
Выколотые точки не отмечены или поставлены по неупрощённой формуле.
Особые значения m или k не проверены отдельно, берутся «на глаз».
В ответе потеряна граница промежутка (строгое и нестрогое неравенство перепутаны).