Задание 20 ОГЭ (часть 2, 2 балла). Печать: 2 листа A4. Определения и правила записаны близко к школьному учебнику (алгебра, 9 класс).
Решение записывают парой (x; y): сначала x, потом y. Пары (3; 4) и (4; 3) — разные решения.
Пример. Пара (2; 1) — решение системы x + y = 3x² + y² = 5 Проверка: 2 + 1 = 3 и 4 + 1 = 5, оба равенства верны.
Если в системе есть линейное уравнение, подставляем из него. Тогда нелинейное уравнение превращается в квадратное с одной переменной.
Если в обоих уравнениях стоят только x² и y² (без x, y и xy), складываем или вычитаем уравнения и находим x² и y². Каждый квадрат даёт два значения: ±.
Подставьте каждую пару в оба уравнения. Ответ запишите парами через запятую: (1; 2), (2; 1). Если в условии сказано «запишите решение с наибольшим x», выберите пару и запишите её целиком.
Уравнение (x − 2)(y + 1) = 0 разбиваем на две системы: с x = 2 и с y = −1. Решения объединяем; одинаковые пары записываем один раз.
Однородное уравнение x² − 3xy + 2y² = 0 раскладываем на множители: (x − y)(x − 2y) = 0.
Полезные формулы: x² + y² = (x + y)² − 2xy; (x − y)² = (x + y)² − 4xy.
Если в системе есть x² + y² и x + y, обозначаем s = x + y, p = xy. Найдя s и p, решаем t² − st + p = 0. Для t₁ ≠ t₂ получаем две пары: (t₁; t₂) и (t₂; t₁).
Если в системе есть дроби, сначала записываем ОДЗ: знаменатели не равны нулю. Для выражения xy + yx вводим t = xy, тогда yx = 1t.
Решив уравнение для t, возвращаемся к x и y. Каждое значение t даёт свою ветку; ветка может не дать решений.
| Уравнение | График |
|---|---|
| ax + by = c | прямая |
| x² + y² = r² | окружность, центр (0; 0), радиус r |
| y = x² + bx + c | парабола |
| y = k/x | гипербола |
Прямая и окружность имеют 0, 1 или 2 общие точки. Точку пересечения по рисунку не всегда можно прочитать точно, поэтому график надёжно даёт число решений, а сами решения находим вычислением.
Ученику читают вопрос, ответ закрыт. Ответ «примерно» засчитывается, если сохранён смысл правила. Для 5-минутного опроса: вопросы 1, 5, 7, 9, 12.
| № | Вопрос | Ответ |
|---|---|---|
| 1 | Что называют решением системы двух уравнений с двумя переменными? | Пару значений переменных, обращающую каждое уравнение системы в верное равенство. |
| 2 | Чем отличаются решения (2; 5) и (5; 2)? | Это разные решения: на первом месте x, на втором y. Для несимметричной системы подходить может только одна из пар. |
| 3 | Что значит «решить систему»? | Найти все её решения или доказать, что решений нет. |
| 4 | Какие способы решения систем вы знаете? | Подстановка, сложение, графический способ, замена переменных. |
| 5 | Когда удобнее подстановка? | Когда одно из уравнений линейное: из него легко выразить переменную. |
| 6 | Когда удобнее сложение? | Когда коэффициенты при одной переменной равны или противоположны, например в системе из двух уравнений с x² и y². |
| 7 | Как решить систему x + y = s, xy = p? | Составить уравнение t² − st + p = 0: его корни — это x и y; записать обе пары. |
| 8 | Как выразить x² + y² через x + y и xy? | x² + y² = (x + y)² − 2xy. |
| 9 | Что делать с уравнением (x − a)(y − b) = 0? | Разбить на две системы (x = a и y = b), решить каждую и объединить ответы; одинаковые пары записать один раз. |
| 10 | Что нужно записать в системе с дробями? | ОДЗ: знаменатели не равны нулю; в конце проверить, что найденные пары в ОДЗ входят. |
| 11 | Сколько решений может быть у системы «окружность и прямая»? | Ни одного, одно (касание) или два. |
| 12 | Нашли значения x. Что дальше? | Для каждого x найти y и записать пары. Ответ «x = 2, x = −3» — неполный. |
| 13 | Что значит «запишите решение с наибольшим x»? | Из всех пар выбрать ту, где x больше, и записать её целиком, обе координаты. |
| 14 | Почему нельзя делить обе части уравнения на переменную? | Переменная может быть равна нулю: при делении теряется корень. Правильно вынести за скобку. |
| 15 | Как проверить решение системы? | Подставить пару в оба уравнения: оба равенства должны быть верными. |