← Неравенства (№13, №20) · на главную · скачать PDF для печати

Разбор 5 задач повышенной сложности · №20

Неравенства: дробь с переносом, корень чётной кратности, система, трёхчлен без корней, кубическое неравенство. У каждой задачи: что видим, решение по шагам, ответ, проверка, типичная ловушка. Печать 3 страницы A4.

Задача 1. Дробь с переносом слагаемых

Условие. Решите неравенство: 6x + 1 ≥ x. Запишите ответ промежутками.

Что видим. Дробно-рациональное неравенство: переменная стоит в знаменателе, справа число-выражение x. Это не «обычное» дробное неравенство вида дробь ≥ 0, сначала нужно привести к такому виду.

Решение.

  1. Переносим x в левую часть и приводим к общему знаменателю: 6x + 1 − x ≥ 0; 6 − x(x + 1)x + 1 ≥ 0; −x² − x + 6x + 1 ≥ 0.
  2. Умножаем обе части на −1 (знак меняется): x² + x − 6x + 1 ≤ 0.
  3. Корни числителя: D = 1 + 24 = 25, x = (−1 ± 5)/2, то есть 2 и −3. Значит, x² + x − 6 = (x − 2)(x + 3) и неравенство имеет вид (x − 2)(x + 3)x + 1 ≤ 0.
  4. Отмечаем точки −3 и 2 (закрашены: знак ≤, нули числителя) и −1 (выколота: нуль знаменателя). Справа от 2 знак «+» (при x = 3 дробь равна 6/4 > 0), далее знаки чередуются: на (−1; 2) «−», на (−3; −1) «+», на (−∞; −3) «−».
  5. Нужен знак «−» или ноль: (−∞; −3] и (−1; 2].
−3−12

Ответ: (−∞; −3] ∪ (−1; 2]

Проверка. x = 1: 6/2 = 3 ≥ 1, верно. x = −2: 6/(−1) = −6 ≥ −2 — неверно, −2 не в ответе. x = −4: 6/(−3) = −2 ≥ −4, верно.

Ловушка. Умножение обеих частей на x + 1 «как на положительное» даёт x² + x − 6 ≤ 0, то есть [−3; 2]: ответ неверный (теряется луч (−∞; −3], а точка −1 попадает в ответ). Знак x + 1 неизвестен.

Задача 2. Корень чётной кратности и изолированная точка

Условие. Решите неравенство: (x − 1)²(x + 3)x − 4 ≥ 0.

Что видим. Дробь, числитель уже разложен. Множитель (x − 1)² стоит в чётной степени: в точке 1 знак не меняется, а сама дробь обращается в ноль.

Решение.

  1. Нули числителя: −3 и 1. Нуль знаменателя: 4 (выколот).
  2. Знак справа от 4: при x = 5 дробь равна 16 · 8 / 1 > 0, знак «+».
  3. Через 4 знак меняется: на (1; 4) «−». Через 1 (чётная кратность) знак не меняется: на (−3; 1) тоже «−». Через −3 знак меняется: на (−∞; −3) «+».
  4. Нужно ≥ 0. Промежутки «+»: (−∞; −3) и (4; +∞). Точка −3 входит (числитель 0), точка 4 не входит.
  5. Отдельно проверяем x = 1: числитель равен 0, дробь равна 0, а 0 ≥ 0 верно. Значит, x = 1 входит в ответ как отдельная точка.
−314

Ответ: (−∞; −3] ∪ {1} ∪ (4; +∞)

Проверка. x = 1: 0/(−3) = 0 ≥ 0, верно. x = 0: (1 · 3)/(−4) < 0, неверно. x = 5: 16 · 8/1 > 0, верно.

Ловушка. Потерять точку x = 1 (рядом знак «−», и кажется, что она не нужна) или, наоборот, отметить в 1 смену знака.

Задача 3. Система: квадратное и линейное с дробями

Условие. Решите неравенство:
x² − 3x − 10 < 03 − x2 ≤ x + 13

Что видим. Система неравенств: ответ — общая часть решений. Первое неравенство квадратное, второе линейное с дробями.

Решение.

  1. Первое: корни x² − 3x − 10 = 0: D = 9 + 40 = 49, x = (3 ± 7)/2, то есть 5 и −2. Ветви параболы вверх, нужно «< 0» — между корнями: (−2; 5).
  2. Второе: умножаем обе части на 6 (положительное число, знак не меняется): 3(3 − x) ≤ 2(x + 1); 9 − 3x ≤ 2x + 2; 7 ≤ 5x; x ≥ 7/5 = 1,4. Получаем [1,4; +∞).
  3. Общая часть множеств (−2; 5) и [1,4; +∞): левый конец 1,4 входит, правый конец 5 не входит.
−21,45

Ответ: [1,4; 5)

Проверка. x = 1,4: 1,96 − 4,2 − 10 < 0 и (3 − 1,4)/2 = 0,8 = (1,4 + 1)/3, нестрогое неравенство верно. x = 5 даёт 25 − 15 − 10 = 0, а нужно строго меньше нуля, поэтому 5 не входит.

Ловушка. Записать [1,4; 5] (5 входит) или забыть перенести 7/5 в ответ точно; ещё частая ошибка — взять объединение вместо пересечения.

Задача 4. Числитель без корней и отрицательный знаменатель

Условие. Решите неравенство: x² − 6x + 109 − x² ≤ 0.

Что видим. Дробь, у числителя D < 0. Если трёхчлен не имеет корней, его знак постоянен, и решение упрощается.

Решение.

  1. Числитель: D = 36 − 40 = −4 < 0, ветви вверх, значит x² − 6x + 10 > 0 при любом x. (Или выделить квадрат: (x − 3)² + 1 > 0.)
  2. Дробь ≤ 0 при положительном числителе только если знаменатель отрицателен: 9 − x² < 0. Знак строгий: знаменатель не может быть нулём, а дробь нулю не равна никогда.
  3. x² > 9, то есть x < −3 или x > 3.
−33

Ответ: (−∞; −3) ∪ (3; +∞)

Проверка. x = 0: 10/9 > 0, неравенство ≤ 0 неверно. x = 4: (16 − 24 + 10)/(9 − 16) = 2/(−7) < 0, верно. x = 3: знаменатель 0, нельзя.

Ловушка. Поставить квадратные скобки (кажется, что корни знаменателя «входят»); решать x² − 6x + 10 ≤ 0 (решений нет); не заметить, что в знаменателе 9 − x², а не x² − 9, и потерять знак.

Задача 5. Кубическое неравенство: группировка

Условие. Решите неравенство: x³ − 4x² − 9x + 36 ≥ 0.

Что видим. Многочлен третьей степени. Подбирать корни долго: слагаемые попарно имеют общий множитель, поэтому раскладываем группировкой.

Решение.

  1. x³ − 4x² − 9x + 36 = x²(x − 4) − 9(x − 4) = (x − 4)(x² − 9) = (x − 4)(x − 3)(x + 3).
  2. Нули: −3, 3, 4. Справа от 4 знак «+» (старший коэффициент положительный). Знаки чередуются справа налево: на (3; 4) «−», на (−3; 3) «+», на (−∞; −3) «−».
  3. Нужно ≥ 0, корни входят: [−3; 3] и [4; +∞).
−334

Ответ: [−3; 3] ∪ [4; +∞)

Проверка. x = 0: 36 ≥ 0, верно. x = 3,5: 42,875 − 49 − 31,5 + 36 = −1,625 < 0, неверно. x = 5: 125 − 100 − 45 + 36 = 16 > 0, верно.

Ловушка. Потерять отрезок [−3; 3] или перепутать порядок знаков; искать корни подбором и не найти третий; не записать, что корни входят.