← Степени (задание 8) · на главную

Степени: теория и устный опрос

Задание 8 ОГЭ, часть 1. Печать: 2 страницы A4. Определения и свойства даны в формулировках школьного учебника.

Теория

1. Степень с натуральным показателем. Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называют произведение n множителей, каждый из которых равен a. Степенью числа a с показателем 1 называют само число a. Число a называют основанием степени, число n — показателем степени: 25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32. Знак степени. Степень положительного числа положительна. Степень отрицательного числа с чётным показателем положительна, с нечётным — отрицательна: (−2)4 = 16, (−2)3 = −8. Показатель относится только к тому, что стоит непосредственно перед ним: −24 = −(24) = −16, а (−2)4 = 16.
2. Свойства степени. Для любых чисел a и b (отличных от нуля, если они стоят в знаменателе или в степени с нулевым или отрицательным показателем) и целых m и n верно:
am · an = am+nпри умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают
am : an = am−nпри делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели вычитают
(am)n = amnпри возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают
(ab)n = anbnстепень произведения равна произведению степеней сомножителей
(ab)n = anbnстепень дроби равна дроби, в числителе и знаменателе которой степени числителя и знаменателя
Пример: 23 · 24 = 27 = 128; 59 : 57 = 52 = 25; (23)2 = 26 = 64.
3. Нулевой и отрицательный показатель. Степень числа a, отличного от нуля, с показателем 0 равна единице: a0 = 1. Степень числа a, отличного от нуля, с целым отрицательным показателем −n равна 1an: a−n = 1an. Отсюда (ab)−n = (ba)n: чтобы возвести дробь в отрицательную степень, дробь переворачивают. Примеры: 2−3 = 123 = 18 = 0,125; 10−2 = 1100 = 0,01; (23)−2 = (32)2 = 94 = 2,25; 70 = 1. Свойства из пункта 2 верны и для целых показателей.
4. Приведение к одному основанию. Это главный приём задания 8. Если основания разные, их записывают степенями одного числа или раскладывают на простые множители. Запомните: 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, 24 = 16, 25 = 32, 26 = 64, 27 = 128, 28 = 256, 29 = 512, 210 = 1024; 32 = 9, 33 = 27, 34 = 81, 35 = 243; 52 = 25, 53 = 125, 54 = 625. Замены: 4 = 22, 8 = 23, 16 = 24, 9 = 32, 27 = 33, 0,5 = 2−1, 0,25 = 2−2, 0,125 = 2−3, 0,2 = 5−1, 0,04 = 5−2, 0,1 = 10−1. Составные основания: 6 = 2 · 3, 12 = 22 · 3, 18 = 2 · 32, 15 = 3 · 5, 20 = 22 · 5, 36 = 22 · 32. По свойству степени произведения 64 = 24 · 34. Затем показатели каждого простого множителя собирают отдельно.
5. Стандартный вид числа. Стандартным видом числа a называют его запись в виде a1 · 10n, где 1 ≤ a1 < 10, а n — целое число; n называют порядком числа a. Примеры: 4500000 = 4,5 · 106; 0,00032 = 3,2 · 10−4. Чтобы перемножить числа в стандартном виде, перемножают первые множители и складывают порядки: (3 · 105) · (2 · 10−2) = 6 · 103 = 6000.
6. Квадратный корень и степень. Арифметическим квадратным корнем из числа a называют неотрицательное число, квадрат которого равен a. При a ≥ 0 верно (√a)2 = a и √a2 = a; в общем случае √a2 равен модулю |a|. Для a ≥ 0, b ≥ 0: √ab = √a · √b; для a ≥ 0, b > 0: √ab = √a√b. Из свойства степени произведения: (a√b)2 = a2b. Примеры: (3√2)2 = 9 · 2 = 18; √26 · 34 = 23 · 32 = 72; √12 · √3 = √36 = 6; √0,36 · 49 = 0,6 · 7 = 4,2.
7. Порядок действий. Сначала выполняют действия в скобках; в каждой группе сначала возведение в степень, затем умножение и деление слева направо, затем сложение и вычитание слева направо. 2 · 32 = 2 · 9 = 18, но (2 · 3)2 = 62 = 36. −32 = −9, но (−3)2 = 9. Дробная черта заменяет скобки: числитель и знаменатель считают отдельно, потом делят.
8. Запись ответа задания 8. Задание 8 — часть 1, ответ записывают числом: целым или конечной десятичной дробью. Если получилась обыкновенная дробь со знаменателем 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, запишите её десятичной: 18 = 0,125. Если получилась дробь вида 13, вернитесь и проверьте вычисления.

Вопросы для устного опроса

  1. Что такое степень числа a с натуральным показателем n? Как называются a и n? Вычислите 25 и (−2)3.
  2. Чему равны (−3)4 и −34? Почему результаты разные?
  3. Сформулируйте правило умножения степеней с одинаковыми основаниями. Чему равно 32 · 34?
  4. Как разделить степени с одинаковыми основаниями? Чему равно 59 : 57?
  5. Как возвести степень в степень? Чему равно (23)2?
  6. Как рационально вычислить 24 · 54?
  7. Чему равны 70, (−4)0, 1000?
  8. Чему равны 2−3 и 10−2? Как вычислить степень с отрицательным показателем?
  9. Чему равно (23)−2?
  10. Запишите степенью числа 2 числа 4, 8, 16, 0,5, 0,25.
  11. Как вычислить 65 : (23 · 33)?
  12. Запишите в стандартном виде 4500000 и 0,00032.
  13. Чему равны (√7)2, √36 · 49, √2 · √8?
  14. Чему равны 2 · 32 и (2 · 3)2, −32 и (−3)2? Что выполняется раньше: умножение или возведение в степень?
Ответы на вопросы (для учителя).
  1. Произведение n множителей, каждый из которых равен a. a — основание, n — показатель. 25 = 32; (−2)3 = −8.
  2. (−3)4 = 81; −34 = −81. В первом случае в степень возводят число −3, во втором — число 3, а минус остаётся перед результатом.
  3. Основание оставляют, показатели складывают: 32 · 34 = 36 = 729.
  4. Основание оставляют, показатели вычитают: 59 : 57 = 52 = 25.
  5. Основание оставляют, показатели перемножают: (23)2 = 26 = 64.
  6. По свойству степени произведения: 24 · 54 = (2 · 5)4 = 104 = 10000.
  7. Все равны 1: степень числа, отличного от нуля, с показателем 0 равна 1.
  8. a−n = 1an. 2−3 = 18 = 0,125; 10−2 = 1100 = 0,01.
  9. Дробь переворачивают: (23)−2 = (32)2 = 94 = 2,25.
  10. 4 = 22, 8 = 23, 16 = 24, 0,5 = 2−1, 0,25 = 2−2.
  11. Разложить основание: 65 = 25 · 35. Тогда 65 : (23 · 33) = 22 · 32 = 36.
  12. 4500000 = 4,5 · 106; 0,00032 = 3,2 · 10−4.
  13. (√7)2 = 7; √36 · 49 = 6 · 7 = 42; √2 · √8 = √16 = 4.
  14. 2 · 32 = 18, (2 · 3)2 = 36; −32 = −9, (−3)2 = 9. Возведение в степень выполняют раньше умножения.