← Степени (задание 8) · на главную

Памятка: степени (задание 8)

Один лист A4. Алгоритм, свойства и запись ответа, чтобы не потерять баллы.

Алгоритм решения задания 8

  1. Прочитай и разметь. Найди степени, скобки, минусы, дробные черты, корни, числа в стандартном виде.
  2. Сведи основания. Запиши основания степенями одного числа: 4 = 22, 8 = 23, 9 = 32, 0,5 = 2−1. Составные основания разложи на простые множители: 6 = 2 · 3, 12 = 22 · 3.
  3. Раскрой степени. (am)n = amn; (ab)n = anbn; (ab)−n = (ba)n; a0 = 1.
  4. Собери показатели. Для каждого основания отдельно: умножаешь — показатели складываешь, делишь — вычитаешь. Осторожно со знаком: m − (−n) = m + n.
  5. Вычисли. Возведи в степень последний раз, посчитай оставшиеся действия по порядку: степень, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание.
  6. Проверь. Знак ответа, чётность показателя у отрицательных чисел, ответ — целое или конечная десятичная дробь. Можно проверить на малых числах без приведения к одному основанию.

Свойства степени

СвойствоПример
am · an = am+n23 · 24 = 27 = 128
am : an = am−n59 : 57 = 52 = 25
(am)n = amn(23)2 = 26 = 64
(ab)n = anbn24 · 54 = 104 = 10000
a0 = 1, a−n = 1an70 = 1; 2−3 = 0,125
(ab)−n = (ba)n(23)−2 = 2,25
(a√b)2 = a2b(3√2)2 = 18

Степени, которые надо знать

21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, 24 = 16, 25 = 32, 26 = 64, 27 = 128, 28 = 256, 29 = 512, 210 = 1024. 32 = 9, 33 = 27, 34 = 81, 35 = 243. 52 = 25, 53 = 125, 54 = 625. 62 = 36, 72 = 49, 112 = 121, 122 = 144, 132 = 169.

Как записать ответ в бланк №1

Если степени встретятся в части 2

Здесь ответ без решения не засчитывают. Пиши по порядку: выражение или уравнение; преобразования по шагам, каждое на новой строке (например, 64 = 24 · 34); промежуточные значения; ответ. Верный ход с одной вычислительной ошибкой обычно оценивают ниже максимума, поэтому после последнего действия пересчитай ещё раз. Подробности смотри в критериях ФИПИ для своего номера.

Типичные потери

ОшибкаКак правильно
Складывают показатели при возведении степени в степень: (23)2 записывают как 25(23)2 = 26 = 64: показатели перемножают
Перемножают показатели при умножении: 23 · 24 записывают как 21223 · 24 = 27 = 128: показатели складывают
Умножают основания: 23 · 24 записывают как 47Основание остаётся прежним
−32 считают равным 9−32 = −9; а (−3)2 = 9
2−3 считают равным −82−3 = 18 = 0,125: минус в показателе не делает число отрицательным
a0 считают равным 0a0 = 1 при a ≠ 0
Степень суммы считают как сумму степеней: (2 + 3)2 записывают как 4 + 9(2 + 3)2 = 52 = 25
2 · 32 считают равным 362 · 32 = 2 · 9 = 18: сначала степень
√26 считают равным 212 или 26√26 = 23 = 8: показатель делят на 2
Складывают показатели неверно: 105 · 10−3 записывают как 10−15105 · 10−3 = 102