Памятка: корни (задание 8)

Один лист A4. Алгоритм, свойства и запись ответа, чтобы не потерять баллы.

Алгоритм решения задания 8 с корнями

1. Прочитай и разметь. Найди корни, скобки, минусы, дробные черты, десятичные дроби, степени под корнем.
2. Выбери приём. Под корнем произведение или степени → корень из каждого множителя. Разные корни с «общим» множителем (√75, √12) → вынести множитель: √75 = 5√3. Скобки с корнями → формулы: (a + b)(a − b) = a² − b², (a ± b)² = a² ± 2ab + b². Десятичные дроби → корни под одним корнем, запятая вдвое меньше знаков.
3. Преобразуй. Записывай каждое действие отдельной строкой. Квадрат корня: (√a)² = a, (m√a)² = m²a.
4. Приведи подобные. Слагаемые с одинаковым корнем складывай и вычитай по коэффициентам: 5√3 − 2√3 = 3√3. Слагаемые вида +4√7 и −4√7 сокращаются.
5. Вычисли. Порядок действий: скобки, степень и корень, умножение и деление, сложение и вычитание.
6. Проверь. Знак ответа; ответ — целое число или конечная десятичная дробь; приближённая проверка: √2 ≈ 1,41; √3 ≈ 1,73; √5 ≈ 2,24; √7 ≈ 2,65.

Свойства и формулы

Свойство	Пример
(√a)2 = a при a ≥ 0; √a2 = |a|	(√13)2 = 13; √(−7)2 = 7
√ab = √a · √b	√36 · 49 = 6 · 7 = 42
√a : b = √a : √b	√72 : √2 = √36 = 6
√a2b = a√b	√75 = 5√3; √72 = 6√2
m√a ± n√a = (m ± n)√a	5√3 − 2√3 = 3√3
(m√a)2 = m2a	(3√2)2 = 18
(a + b)(a − b) = a2 − b2	(√7 − √3)(√7 + √3) = 4
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2	(√7 − 2)2 = 11 − 4√7
√a2n = an	√26 · 34 = 8 · 9 = 72

Квадраты, которые надо знать

11² = 121, 12² = 144, 13² = 169, 14² = 196, 15² = 225, 16² = 256, 17² = 289, 18² = 324, 19² = 361, 20² = 400, 25² = 625. 0,2² = 0,04; 0,5² = 0,25; 1,2² = 1,44; 1,3² = 1,69; 1,5² = 2,25.

Как записать ответ в бланк №1

• Задание 8 относится к части 1: проверяется только ответ. Ход решения эксперты не смотрят и баллов за него не дают. Решение пиши в черновике или на полях КИМ, на бланк его переносить не нужно.
• Ответ — целое число или конечная десятичная дробь. Десятичная запятая, не точка: 7,5 (не 7.5).
• Без единиц измерения, без знака «=», без слов, без знака корня и без дробной черты. Получилось 152 — пиши 7,5. Получилось √49 — пиши 7.
• Минус пиши, если число отрицательное: −17. Каждую цифру, запятую и минус — в отдельную клетку по образцу на бланке.
• Пиши в простейшем виде: 4, а не 4,0 и не 04. Исправляй ответ по правилам бланка, аккуратно и разборчиво.
• Переписывая ответ с черновика, сверь знак и запятую: баллы чаще всего теряют именно здесь.

Если корни встретятся в части 2

В заданиях части 2 (уравнения, неравенства, текстовые задачи) ответ без решения не засчитывают. Пиши по порядку: условие или уравнение; преобразования по шагам, каждое на новой строке (например, √75 = √25 · 3 = 5√3); промежуточные значения; ответ. Верный ход с одной вычислительной ошибкой обычно оценивают ниже максимума, поэтому после последнего действия пересчитай ещё раз. Точные правила смотри в критериях ФИПИ для своего номера.

Типичные потери

Ошибка	Как правильно
Вычитают подкоренные числа: √75 − √12 = √63	√75 − √12 = 5√3 − 2√3 = 3√3
Складывают корни из суммы: √9 + 16 = √9 + √16	√9 + 16 = 5, а √9 + √16 = 7: корень из суммы не равен сумме корней
(3√5)2 считают равным 9√5 или 15	(3√5)2 = 9 · 5 = 45: в квадрат возводят и коэффициент, и корень
(√7 − 2)2 считают равным 7 − 4	(√7 − 2)2 = 7 − 4√7 + 4: нужно удвоенное произведение
√(−7)2 считают равным −7	√(−7)2 = √49 = 7: арифметический корень не бывает отрицательным
√26 считают равным 23 · 2 или 212	√26 = 23 = 8: показатель делят на 2
√0,01 считают равным 0,01	√0,01 = 0,1: после запятой вдвое меньше знаков
Оставляют в ответе корень или дробь	Перепроверь решение: ответ — целое число или десятичная дробь, например 7,5