← Обыкновенные дроби и смешанные числа (задание 6) · на главную

Обыкновенные дроби и смешанные числа: теория и устный опрос

Задание 6 ОГЭ, часть 1. Печать: 2 страницы A4.

Теория

1. Обыкновенная дробь, смешанное число. Дробь, у которой числитель меньше знаменателя, называют правильной; если числитель больше знаменателя или равен ему, — неправильной. Число, состоящее из целой части и правильной дроби, называют смешанным числом: 234. Основное свойство дроби. Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, получится равная ей дробь. Деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от 1, называют сокращением дроби: 1824 = 34.
2. Целая часть и неправильная дробь. Чтобы выделить целую часть неправильной дроби, надо разделить числитель на знаменатель: частное — целая часть, остаток — числитель дробной части. 175 = 325, так как 17 = 5 · 3 + 2. Чтобы записать смешанное число неправильной дробью, надо целую часть умножить на знаменатель, прибавить числитель и записать сумму над прежним знаменателем: 234 = (2 · 4 + 3)/4 = 114.
3. Сравнение дробей. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, надо привести их к общему знаменателю. Пример: 58 и 712; наименьший общий знаменатель 24; 58 = 1524, 712 = 1424, значит 58 > 712.
4. Сложение и вычитание. Чтобы сложить (вычесть) дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить (вычесть) их числители, а знаменатель оставить прежним. Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, надо привести их к наименьшему общему знаменателю, а затем выполнить действие: 14 + 16 = 312 + 212 = 512. Смешанные числа складывают и вычитают, обращаясь отдельно с целыми и дробными частями. Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, одну единицу из целой части обращают в дробь: 513 − 256 = 526 − 256 = 486 − 256 = 236 = 212.
5. Умножение. Чтобы умножить дробь на дробь, надо умножить числитель на числитель и знаменатель на знаменатель; первое произведение записать числителем, а второе — знаменателем. Смешанные числа перед умножением записывают неправильными дробями. Сокращать лучше до умножения: 56 · 910 = (5 · 9)/(6 · 10) = 34. Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо умножить на него числитель: 38 · 4 = 32 = 112.
6. Деление. Два числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными: 34 и 43; 2 и 12; 112 и 23. Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю: 35 : 310 = 35 · 103 = 2. Смешанные числа записывают неправильными дробями. Натуральное число n записывают как n/1.
7. Порядок действий, знаки, дробная черта. Сначала выполняют действия в скобках; затем умножение и деление слева направо; затем сложение и вычитание слева направо. Произведение и частное двух чисел с одинаковыми знаками положительны, с разными знаками отрицательны. Вычесть число — значит прибавить противоположное ему число: 3 − (−2) = 3 + 2 = 5. Дробная черта означает деление и заменяет скобки: в выражении, где числитель и знаменатель — выражения, сначала находят значение числителя и значение знаменателя, потом делят.
8. Обыкновенные и десятичные дроби вместе. Чтобы записать обыкновенную дробь десятичной, надо числитель разделить на знаменатель; дробь со знаменателем 10, 100, 1000 записывается десятичной сразу: 720 = 35100 = 0,35. Несократимая дробь равна конечной десятичной тогда и только тогда, когда в разложении её знаменателя есть только простые множители 2 и 5. Если в выражении и обыкновенные, и десятичные дроби, приведите все числа к одной форме. Запомните: 12 = 0,5; 14 = 0,25; 34 = 0,75; 15 = 0,2; 18 = 0,125; 38 = 0,375; 120 = 0,05; 125 = 0,04. Ответ задания 6 — целое число или конечная десятичная дробь; получилась дробь вида 13 — проверьте вычисления.

Вопросы для устного опроса

  1. Какая дробь называется правильной, какая неправильной? Что такое смешанное число?
  2. Запишите 325 неправильной дробью, а 175 смешанным числом.
  3. Сформулируйте основное свойство дроби. Сократите 1824.
  4. Как сравнить 58 и 712?
  5. Как сложить дроби с одинаковыми знаменателями? Чему равно 37 + 27?
  6. Как сложить 14 + 16?
  7. Как вычесть из 513 число 256?
  8. Как умножить дробь на дробь? Чему равно 23 · 910?
  9. Какие числа называют взаимно обратными? Назовите число, обратное 34, числу 2, числу 112.
  10. Как разделить дробь на дробь? Чему равно 35 : 310?
  11. В каком порядке считать 12 + 13 · 34?
  12. Что означает дробная черта в выражении, где в числителе и знаменателе есть действия?
  13. Запишите 38 и 125 десятичными дробями.
  14. Когда обыкновенная дробь равна конечной десятичной? Приведите пример «да» и «нет».
Ответы на вопросы (для учителя).
  1. Правильная: числитель меньше знаменателя. Неправильная: числитель больше знаменателя или равен ему. Смешанное число: целая часть и правильная дробь, например 234.
  2. 325 = (3 · 5 + 2)/5 = 175. И обратно: 175 = 325.
  3. Числитель и знаменатель можно умножить или разделить на одно и то же натуральное число. 1824 = 34 (делим на 6).
  4. Общий знаменатель 24: 1524 и 1424. Значит 58 > 712.
  5. Сложить числители, знаменатель оставить: 37 + 27 = 57.
  6. Наименьший общий знаменатель 12: 312 + 212 = 512.
  7. 513 = 526 = 486; 486 − 256 = 236 = 212.
  8. Числитель на числитель, знаменатель на знаменатель, сокращая заранее: 23 · 910 = 35 = 0,6.
  9. Произведение равно 1. Обратные: 43; 12; 23 (112 = 32).
  10. Умножить на обратную: 35 · 103 = 2.
  11. Сначала умножение: 13 · 34 = 14. Затем сложение: 12 + 14 = 34.
  12. Деление, причём числитель и знаменатель — как в скобках: сначала значения числителя и знаменателя, потом деление.
  13. 38 = 0,375; 125 = 4100 = 0,04.
  14. Когда знаменатель несократимой дроби содержит только простые множители 2 и 5. 720 — да (0,35); 13 — нет.