← Графики функций (№22) · на главную · скачать PDF для печати

Памятка: алгоритм и оформление, графики функций (№22)

Задание 22 оформляют полностью на бланке №2 (2 балла). Эксперт смотрит и график, и ход рассуждений, и ответ.

Алгоритм решения задания 22

  1. Прочитай вопрос. Прямая y = m (горизонтальная) или y = kx (через начало координат)? Сколько общих точек нужно: 0, 1, 2, 3?
  2. Область определения. Если есть дробь — запиши, при каких x знаменатель равен 0, до сокращения.
  3. Преобразуй формулу. Модуль раскрой отдельно на каждом промежутке; дробь разложи и сократи.
  4. Таблицы. Для каждой формулы: вершина, нули, точка на Oy, не меньше 5 точек (x и y).
  5. График. Оси x, y, начало O, единичный отрезок; каждый кусок — на своём промежутке; плавные линии; выколотые точки — пустые кружки с координатами.
  6. Двигай прямую. Найди особые положения: вершины, концы кусков, выколотые точки, k = 0, касание.
  7. Проверь каждое особое значение отдельно: подстановкой или решением уравнения.
  8. Ответ. Значения и промежутки с учётом строгих и нестрогих знаков.

Что вижу — что делаю

Что вижуЧто делаю
|x| рядом с x (x|x|, x² − 2|x|)Раскрыть при x ≥ 0 и при x < 0: две формулы
|f(x)| — модуль всей функцииПостроить f(x), часть ниже Ox отразить вверх
ДробьОДЗ → разложить → сократить → выколоть
Разные формулы на промежуткахКонцы: ≤ ≥ — закрашен, < > — выколот
Прямая y = mДвигать снизу вверх; особые m: вершины, концы кусков, выколотые
Прямая y = kxЧерез O; особые k: через выколотую точку (k = y₀/x₀), k = 0, касание

Что снижает баллы

  • График нарисован «от руки» без таблицы значений, вершина не найдена.
  • Куски построены целиком, а не на своих промежутках.
  • Выколотая точка не отмечена или без координат.
  • Парабола «ломаная», оси без подписей и без единичного отрезка.
  • Особые значения не проверены; в ответе потеряно значение или перепутан знак неравенства.

Образец записи на бланке №2

Задача. Постройте график функции y = x² − 2|x| − 3. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

1) Раскрываем модуль. Если x ≥ 0, то |x| = x и y = x² − 2x − 3 = (x − 1)² − 4. Если x < 0, то |x| = −x и y = x² + 2x − 3 = (x + 1)² − 4.

2) Таблицы.

x ≥ 001234
y−3−4−305
x < 0−1−2−3−4
y−4−305

3) График — две параболы с вершинами (1; −4) и (−1; −4), общая точка (0; −3).

xy−5−4−3−2−112345−4−224Om = −3(1; −4)(−1; −4)(0; −3)

4) Прямая y = m. m < −4: общих точек нет; m = −4: две; −4 < m < −3: четыре; m = −3: три — (−2; −3), (0; −3), (2; −3); m > −3: две.

Ответ: m = −3.

Как оценивается (схема)

2 баллаГрафик построен верно; найдены все искомые значения параметра.
1 баллГрафик построен верно, но значения параметра найдены с ошибкой (потеряно значение, неверно учтена граница).
0 балловГрафик неверный; или только ответ без построения.

Это общая схема. Точные формулировки смотрите в критериях ФИПИ текущего года.

Чек-лист перед сдачей

☐ ОДЗ записано (если есть дробь). ☐ Модуль раскрыт на промежутках. ☐ Есть таблицы значений. ☐ Вершины и нули отмечены. ☐ Выколотые точки с координатами. ☐ Оси подписаны, единичный отрезок виден. ☐ Особые значения проверены. ☐ В ответе все значения и верные знаки неравенств.