Смеси: теория и устный опрос

1. Концентрация. Концентрацией вещества в растворе (в сплаве) называется отношение массы вещества к массе всего раствора: c = m(вещества) : m(раствора). Концентрацию записывают десятичной дробью или в процентах: 0,15 = 15%. Отсюда m(вещества) = m(раствора) · c, а m(раствора) = m(вещества) : c. В воде вещества 0%, в чистом веществе 100%. Пример: в 250 г 8%-ного раствора соли 250 · 0,08 = 20 г соли.

2. Что складывается при смешивании. Масса смеси равна сумме масс смешанных растворов. Масса вещества в смеси равна сумме масс вещества в каждом растворе. Концентрации складывать нельзя. Если массы растворов равны, концентрация смеси равна среднему арифметическому концентраций; если массы разные, она ближе к концентрации того раствора, которого взято больше. Пример: 200 г 10%-ного и 300 г 20%-ного раствора дают (20 + 60) : 500 = 0,16 = 16%.

3. Таблица и уравнение по веществу. Заполняют таблицу: масса раствора, концентрация (десятичной дробью), масса вещества. Уравнение составляют по веществу: «вещества в первом + вещества во втором = вещества в смеси». Неизвестную массу обозначают x, вторую массу выражают через неё (M − x, x + 3 и т. д.). Решение записывают так: «Пусть x кг — …», ограничение (x > 0), уравнение, решение, проверка, ответ.

4. Добавление воды и выпаривание. В воде вещества нет, поэтому при добавлении воды масса вещества не меняется, а масса раствора растёт. При выпаривании уходит только вода: масса вещества не меняется, масса раствора уменьшается. Уравнение: m(вещества) = c(нового) · m(нового раствора). Пример: к 60 кг 30%-ного раствора добавили воду, получили 24%-ный. Соли 60 · 0,3 = 18 кг; новый раствор 18 : 0,24 = 75 кг; воды добавили 75 − 60 = 15 кг. Если добавляют чистое вещество, растут и масса вещества, и масса раствора, на одно и то же число.

5. Смесь двух растворов и правило креста. Пусть смешали x кг раствора с концентрацией c₁ и (M − x) кг раствора с концентрацией c₂ и получили M кг смеси с концентрацией c. Уравнение: c₁x + c₂(M − x) = cM. Быстрая проверка — правило креста при c₁ < c < c₂: m₁ : m₂ = (c₂ − c) : (c − c₁). Оно получается из того же уравнения: m₁(c − c₁) = m₂(c₂ − c). Пример: 30%-ный и 50%-ный растворы дали 42%-ный: m₁ : m₂ = (50 − 42) : (42 − 30) = 8 : 12 = 2 : 3. В записи решения на экзамене оформляйте уравнение, крест используйте для проверки.

6. Сплавы. Сплав задаётся так же, как раствор: доля металла = масса металла : масса сплава. При сплавлении массы складываются, металл в новом сплаве равен сумме металла в исходных. Читайте вопрос до конца: часто спрашивают не x, а массу третьего сплава или разность масс.

7. Переливание. Пусть в сосуде объёмом V литров раствор с концентрацией c. Если отлить x л, концентрация оставшегося раствора не изменится, но вещества станет в (1 − x/V) раза меньше. После доливания x л воды концентрация станет c(1 − x/V). Если такую операцию повторить n раз: c(1 − x/V)ⁿ. Считают, что объёмы при смешивании складываются.

8. Два условия и система. Если неизвестных два и в задаче два условия (например, «слили всё» и «слили равные массы»), составляют систему: одно уравнение по массе вещества, другое по концентрации. Корни отбирают по смыслу: масса и объём положительны, отлитая часть меньше объёма сосуда, концентрация от 0% до 100%.