Проценты: теория и устный опрос

Задание 21 ОГЭ, часть 2. Печать: 2 страницы A4.

Теория

1. Процент. Процентом называется одна сотая часть: 1% = 1/100 = 0,01. Поэтому p% = p/100. Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, делят на 100: 35% = 0,35; 7% = 0,07; 120% = 1,2. Чтобы перевести десятичную или обыкновенную дробь в проценты, умножают на 100: 0,6 = 60%; 3/4 = 75%.

2. Три основные задачи на проценты. 1) Найти p% от числа a: a · p/100 (15% от 240: 240 · 0,15 = 36). 2) Найти число по его части: если p% числа равны b, то число равно b : (p/100) (12% числа равны 30, число 30 : 0,12 = 250). 3) Найти, сколько процентов число b составляет от числа a: b/a · 100% (18 от 60: 18/60 · 100% = 30%). Всегда за 100% берут то число, с которым сравнивают («от чего»).

3. Увеличение и уменьшение на p%. Увеличить число a на p% — значит умножить его на (1 + p/100). Уменьшить на p% — умножить на (1 − p/100). Эти множители называют коэффициентами: +20% → 1,2; −15% → 0,85; +100% → 2. Различай «на 25% больше» (коэффициент 1,25) и «составляет 25%» (коэффициент 0,25).

4. Последовательные изменения. Если величину меняют на проценты несколько раз, коэффициенты перемножают. Каждый следующий процент берётся от нового значения, поэтому складывать проценты нельзя. Пример: цену повысили на 20%, затем снизили на 20%: 1,2 · 0,8 = 0,96, цена стала на 4% ниже начальной. Два повышения по 10%: 1,1 · 1,1 = 1,21, то есть +21%, а не +20%. Чтобы вернуться к начальному значению, делят на коэффициент.

5. Сложные проценты (банковский вклад). Если банк начисляет p% годовых на всю накопленную сумму, то через n лет сумма вклада равна A · (1 + p/100)ⁿ, где A — первоначальная сумма. После первого года: A(1 + p/100), после второго: A(1 + p/100)².

6. Концентрация раствора и сплава. Концентрация (доля) вещества — это отношение массы вещества к массе всего раствора (сплава): c = m(вещества) : m(раствора). Отсюда m(вещества) = m(раствора) · c. В воде вещества 0%, в чистом веществе 100%. При смешивании складываются массы растворов и массы вещества; концентрации складывать нельзя.

7. Как составляют уравнение. Заполняют таблицу: масса раствора, концентрация (десятичной дробью), масса вещества. Уравнение пишут по веществу: масса вещества в смеси равна сумме масс вещества в частях. При сушке масса сухого вещества не меняется, испаряется только вода. Если в задаче два условия и два неизвестных — составляют систему. Корни отбирают по смыслу: масса и цена положительны, процент снижения меньше 100.

Вопросы для устного опроса

Сначала вопрос, ответ учитель сверяет с правой колонкой.

№	Вопрос	Ответ
1	Что такое один процент? Запишите 1% дробью и десятичной дробью.	Одна сотая часть: 1% = 1/100 = 0,01.
2	Переведите в десятичные дроби: 35%, 7%, 120%.	0,35; 0,07; 1,2. Проценты делим на 100.
3	Переведите в проценты: 0,6; 0,04; 3/4.	60%; 4%; 75%. Умножаем на 100.
4	Как найти 15% от числа 240?	240 · 0,15 = 36.
5	12% числа равны 30. Найдите число.	30 : 0,12 = 250.
6	Сколько процентов составляет 18 от 60?	18/60 · 100% = 30%.
7	Цену 800 руб. повысили на 25%. Какова новая цена? Каким одним коэффициентом это считать?	Коэффициент 1,25; 800 · 1,25 = 1000 руб.
8	Каким коэффициентом записывается снижение на 15%?	1 − 0,15 = 0,85.
9	Цену повысили на 20%, потом снизили на 20%. Вернулась ли она к начальной?	Нет: 1,2 · 0,8 = 0,96, цена на 4% ниже. Второй процент берут от новой цены.
10	Цена выросла на 10%, потом ещё на 10%. На сколько процентов она выросла за два раза?	1,1 · 1,1 = 1,21, на 21%, а не на 20%.
11	Вкладчик положил 10 000 руб. под 10% годовых. Сколько будет через 2 года, если проценты начисляют на всю сумму?	10 000 · 1,1² = 12 100 руб.
12	В 200 г раствора содержится 15% соли. Сколько в нём соли?	200 · 0,15 = 30 г.
13	Сколько процентов вещества в воде и в чистом веществе? Можно ли складывать концентрации при смешивании?	В воде 0%, в чистом веществе 100%. Нельзя: складывают массы вещества и массы растворов.
14	Что обязательно должно быть в записи решения задания 21?	Что обозначили за x (с единицами и ограничением), выражения через x, уравнение, решение, отбор корня по смыслу, ответ.