5 задач повышенной сложности: подробный разбор

Цену на товар два раза подряд снижали на одно и то же число процентов. Сначала товар стоил 5000 рублей, после двух снижений стал стоить 4050 рублей. На сколько процентов снижали цену каждый раз?

1. Пусть x% — на сколько снижали цену каждый раз (0 < x < 100). После первого снижения цена 5000(1 − x/100), после второго 5000(1 − x/100)².
2. Уравнение: 5000(1 − x/100)² = 4050.
3. Делим на 5000: (1 − x/100)² = 0,81. Значит 1 − x/100 = 0,9 или 1 − x/100 = −0,9.
4. Из первого x = 10, из второго x = 190. Условию 0 < x < 100 подходит 10.
5. Проверка: 5000 · 0,9 = 4500; 4500 · 0,9 = 4050.

Ответ: 10%.

Ловушка: второе снижение считают от уже сниженной цены, поэтому коэффициент возводят в квадрат. Записать 5000(1 − 2x/100) = 4050 нельзя.

Цену товара повысили на x%, а затем снизили на x%. В результате товар стал дешевле первоначальной цены на 4%. Найдите x.

1. Пусть a — первоначальная цена. После повышения a(1 + x/100), после снижения a(1 + x/100)(1 − x/100).
2. Итоговая цена на 4% ниже: это 100% − 4% = 96% = 0,96a.
3. Сокращаем a: (1 + x/100)(1 − x/100) = 0,96. По формуле разности квадратов 1 − x²/10 000 = 0,96.
4. x²/10 000 = 0,04; x² = 400; x = 20 или x = −20. Процент положительный, подходит 20.
5. Проверка: 1,2 · 0,8 = 0,96.

Ответ: 20%.

Ловушка: 4% — это итог, а не сам x. Не путайте «стала на 4% ниже» (0,96) и «стала 4%» (0,04).

Смешали 30%-ный и 60%-ный растворы кислоты и добавили 10 кг чистой воды, получили 36%-ный раствор кислоты. Если бы вместо воды добавили 10 кг 50%-ного раствора той же кислоты, то получили бы 41%-ный раствор. Сколько килограммов 30%-ного раствора использовали?

1. Пусть x кг — 30%-ного раствора, y кг — 60%-ного (x > 0, y > 0).
2. Первый случай: масса смеси x + y + 10, кислоты 0,3x + 0,6y (вода кислоту не даёт). Уравнение 0,3x + 0,6y = 0,36(x + y + 10). После упрощения 0,24y − 0,06x = 3,6, то есть 4y − x = 60.
3. Второй случай: добавили 10 кг 50%-ного раствора, в нём 5 кг кислоты. Уравнение 0,3x + 0,6y + 5 = 0,41(x + y + 10). После упрощения 0,19y − 0,11x = −0,9, то есть 19y − 11x = −90.
4. Из первого x = 4y − 60. Подставляем: 19y − 11(4y − 60) = −90; 19y − 44y + 660 = −90; −25y = −750; y = 30.
5. x = 4 · 30 − 60 = 60.
6. Проверка: смесь 60 + 30 + 10 = 100 кг, кислоты 18 + 18 = 36 кг, это 36%. Во втором случае кислоты 18 + 18 + 5 = 41 кг из 100 кг, это 41%.

Ответ: 60 кг.

Ловушка: в смесь входит вся добавленная масса: воду и второй раствор нужно учесть в знаменателе, а у воды кислоты 0.

Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди. Масса второго сплава на 3 кг больше массы первого. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

1. Пусть x кг — масса первого сплава, (x + 3) кг — второго, (2x + 3) кг — третьего.
2. Масса меди = масса сплава · доля меди: 0,1x; 0,4(x + 3); 0,3(2x + 3).
3. Вся медь двух сплавов перешла в третий: 0,1x + 0,4(x + 3) = 0,3(2x + 3).
4. 0,5x + 1,2 = 0,6x + 0,9; 0,1x = 0,3; x = 3.
5. Масса третьего сплава 2 · 3 + 3 = 9 кг. Проверка: меди 0,3 + 2,4 = 2,7 кг = 0,3 · 9.

Ответ: 9 кг.

Ловушка: ответ — масса третьего сплава, а не x. Проценты в уравнение подставляют десятичными дробями.

Свежие яблоки содержат 80% воды, а сушёные — 20% воды. Сколько килограммов воды испарится при сушке 50 кг свежих яблок?

1. При сушке испаряется только вода, масса сухого вещества не меняется.
2. В 50 кг свежих яблок сухого вещества 100% − 80% = 20%, то есть 0,2 · 50 = 10 кг.
3. В сушёных яблоках сухого вещества 100% − 20% = 80%. Пусть m кг — масса сушёных: 0,8m = 10.
4. m = 12,5 кг.
5. Испарилось 50 − 12,5 = 37,5 кг воды. Проверка: воды было 40 кг, осталось 0,2 · 12,5 = 2,5 кг, испарилось 37,5 кг.

Ответ: 37,5 кг.

Ловушка: спрашивают, сколько воды испарилось, а не сколько яблок осталось. Нельзя считать, что воды стало 20% от 50 кг.