5 задач повышенной сложности: подробный разбор

Из города А в город В, расстояние между которыми 360 км, выехал автомобиль. Через 1 ч 30 мин вслед за ним выехал второй автомобиль, скорость которого на 20 км/ч больше, и приехал в В одновременно с первым. Найдите скорость первого автомобиля.

1. Пусть x км/ч — скорость первого (x > 0), тогда (x + 20) км/ч — скорость второго.
2. Время первого 360x ч, второго 360x + 20 ч. Второй выехал на 1,5 ч позже, значит ехал на 1,5 ч меньше.
3. Уравнение: 360x − 360x + 20 = 1,5. Умножаем на 2x(x + 20): 720(x + 20) − 720x = 3x(x + 20); 14400 = 3x² + 60x; x² + 20x − 4800 = 0.
4. D = 400 + 19200 = 19600 = 140²; x = (−20 ± 140) : 2, то есть 60 или −80.
5. Отрицательный корень не подходит. Проверка: 360 : 60 = 6 ч, 360 : 80 = 4,5 ч, разница 1,5 ч.

Ответ: 60 км/ч.

Ловушка: 1 ч 30 мин — это 1,5 ч, а не 1,3 ч.

Моторная лодка прошла от пристани А до пристани В по течению реки и вернулась обратно. Расстояние между пристанями 45 км, скорость течения 3 км/ч. В пункте В лодка стояла 1 час, всё путешествие заняло 9 часов. Найдите собственную скорость лодки.

1. Пусть x км/ч — собственная скорость, x > 3. По течению x + 3, против течения x − 3.
2. В движении лодка была 9 − 1 = 8 ч.
3. Уравнение: 45x + 3 + 45x − 3 = 8. Умножаем на (x + 3)(x − 3): 45(x − 3) + 45(x + 3) = 8(x² − 9); 90x = 8x² − 72; 4x² − 45x − 36 = 0.
4. D = 2025 + 576 = 2601 = 51²; x = (45 ± 51) : 8, то есть 12 или −0,75.
5. Условию x > 3 подходит только 12. Проверка: 45 : 15 = 3 ч, 45 : 9 = 5 ч, 3 + 1 + 5 = 9 ч.

Ответ: 12 км/ч.

Ловушка: в правую часть писать 9 нельзя: стоянку надо вычесть.

Автомобиль проехал первую половину пути со скоростью 48 км/ч, а вторую половину — с другой постоянной скоростью. Средняя скорость на всём пути оказалась равной 64 км/ч. Найдите скорость автомобиля на второй половине пути.

1. Пусть весь путь S, скорость на второй половине x км/ч. Всё время S : 64.
2. Первая половина: S96 ч. Вторая: S2x ч.
3. Уравнение: S96 + S2x = S64. Делим на S: 196 + 12x = 164.
4. 12x = 164 − 196 = 3192 − 2192 = 1192, откуда 2x = 192, x = 96.
5. Проверка: S/96 + S/192 = 3S/192 = S/64.

Ответ: 96 км/ч.

Ловушка: считать скорость как 2·64 − 48 = 80 нельзя: средняя скорость — не среднее арифметическое.

Два велосипедиста одновременно стартуют из одной точки круговой трассы длиной 4 км. В одном направлении первый догоняет второго (на круг) через 30 минут. В противоположных направлениях они впервые встречаются через 6 минут. Найдите скорость первого велосипедиста (он быстрее).

1. Пусть x и y км/ч — скорости, x > y. В одном направлении: (x − y)·0,5 = 4, откуда x − y = 8.
2. В противоположных: (x + y)·0,1 = 4, откуда x + y = 40 (6 мин = 0,1 ч).
3. Складываем: 2x = 48, x = 24, тогда y = 16.
4. Проверка: 4 : (24 − 16) = 0,5 ч = 30 мин; 4 : (24 + 16) = 0,1 ч = 6 мин.

Ответ: 24 км/ч.

Ловушка: 6 минут надо перевести в часы: 0,1 ч, а не 6.

Поезд проходит мимо столба за 12 секунд, а по мосту длиной 360 метров — за 30 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

1. Пусть длина поезда L м. Мимо столба — путь L, по мосту — путь L + 360. Скорость одна и та же.
2. Уравнение: L12 = L + 36030. Умножаем на 60: 5L = 2(L + 360); 3L = 720; L = 240.
3. Проверка: скорость 240 : 12 = 20 м/с; по мосту 600 м : 20 = 30 с. Скорость 20 м/с = 72 км/ч.

Ответ: 240 м.

Ловушка: путь по мосту — это L + 360, а не 360.