← Прогрессии (задание 14) · на главную

Прогрессии · задание 14 ОГЭ · теория

Печать: 2 листа A4. Лист 1 — теория и вопросы (ученику), лист 2 — ответы на вопросы (учителю). Формулировки близки к школьному учебнику алгебры 9 класса.

1. Последовательности

Числовая последовательность — функция, заданная на множестве натуральных чисел. Её значения называют членами: a1, a2, …, an, … Число n — номер члена.

Способы задания: формулой n-го члена (an = 3n − 2); рекуррентно (a1 = 5, an+1 = an + 3); словами или перечислением первых членов.

2. Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия — последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d. Число d — разность прогрессии.

Формулы.
an+1 = an + d;   d = an+1 − an
an = a1 + (n − 1)d
an = (an−1 + an+1) : 2 (свойство)
Sn = (a1 + an)·n : 2
Sn = (2a1 + (n − 1)d)·n : 2

Если даны два члена: d = (am − ak) : (m − k). Любой член через известный: am = ak + (m − k)d.

Рост и убывание. d > 0 — члены растут, d < 0 — убывают.

3. Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q. Число q — знаменатель прогрессии.

Формулы.
bn+1 = bn·q;   q = bn+1 : bn
bn = b1·qn−1
bn2 = bn−1·bn+1 (свойство)
Sn = b1(qn − 1) : (q − 1), q ≠ 1

При q < 0 знаки членов чередуются: плюс, минус, плюс, минус.

4. Приёмы для задания 14

  • Первое: определите вид: «на … больше» — арифметическая, «в … раз» или «на p%» — геометрическая.
  • Шаги. От ak до am ровно m − k шагов. От a1 до an — n − 1 шаг.
  • Сколько членов …< 0. Запишите an < 0, решите относительно n, возьмите наибольшее натуральное n (строгое неравенство: ноль не отрицательный).
  • Сумма без первого члена. Найдите d, затем a1 и последний член, потом формулу суммы.
  • Практика. Ряды в зале, накопления «на столько-то больше» — арифметическая; бактерии, рост в k раз — геометрическая.

5. Типичные ошибки

  • Степень или шаги n вместо n − 1.
  • В формуле суммы арифметической прогрессии забыто деление на 2.
  • Арифметическая и геометрическая перепутаны: d и q, «+» и «·».
  • Потерян знак при отрицательных d или q.
  • Члены прогрессии с номерами k и m: разность членов поделена не на (m − k).

Вопросы для устного опроса

  1. Что такое числовая последовательность? Назовите три способа её задания.
  2. Последовательность задана формулой an = 4n − 1. Найдите a5 и a10.
  3. Дайте определение арифметической прогрессии. Как найти её разность?
  4. Арифметическая прогрессия 5; 9; 13; … Чему равны d и a6?
  5. Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии. Почему в ней (n − 1), а не n?
  6. Сформулируйте характеристическое свойство арифметической прогрессии. Найдите a5, если a4 = 11, a6 = 17.
  7. Запишите две формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии. Когда удобна каждая?
  8. Чему равна сумма натуральных чисел от 1 до 100?
  9. Дайте определение геометрической прогрессии. Почему q ≠ 0 и члены не равны нулю?
  10. Геометрическая прогрессия 3; 6; 12; … Чему равны q и b5?
  11. Запишите формулу n-го члена геометрической прогрессии. Почему степень n − 1?
  12. Характеристическое свойство геометрической прогрессии. Все члены положительны, b2 = 4, b4 = 16. Найдите b3.
  13. Запишите формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии. Найдите 1 + 2 + 4 + 8 + 16.
  14. По каким словам условия отличить арифметическую прогрессию от геометрической?

Ответы на вопросы устного опроса (для учителя)

  1. Функция, заданная на множестве натуральных чисел; значения — члены последовательности. Способы: формулой n-го члена, рекуррентной формулой (каждый следующий член через предыдущие), словесным описанием или перечислением первых членов.
  2. a5 = 4·5 − 1 = 19; a10 = 4·10 − 1 = 39.
  3. Последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d. d = an+1 − an.
  4. d = 9 − 5 = 4; a6 = 5 + 5·4 = 25.
  5. an = a1 + (n − 1)d. От первого члена до n-го ровно n − 1 переход, на каждом прибавляется d.
  6. Каждый член, кроме первого, равен среднему арифметическому соседних: an = (an−1 + an+1) : 2. a5 = (11 + 17) : 2 = 14.
  7. Sn = (a1 + an)·n : 2 — когда известен последний член; Sn = (2a1 + (n − 1)d)·n : 2 — когда известны первый член и разность.
  8. Арифметическая прогрессия, a1 = 1, a100 = 100: S = (1 + 100)·100 : 2 = 5050.
  9. Последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q. q = bn+1 : bn; деление на нуль невозможно.
  10. q = 6 : 3 = 2; b5 = 3·24 = 48.
  11. bn = b1·qn−1. От первого члена до n-го n − 1 умножение на q.
  12. Квадрат каждого члена равен произведению соседних: bn2 = bn−1·bn+1. b32 = 4·16 = 64, b3 = 8 (члены положительны).
  13. Sn = b1(qn − 1) : (q − 1), q ≠ 1. Здесь b1 = 1, q = 2, n = 5: (32 − 1) : 1 = 31.
  14. Арифметическая: «на одно и то же число больше (меньше)». Геометрическая: «в одно и то же число раз больше (меньше)»; рост на p% — геометрическая прогрессия со знаменателем q = 1 + p : 100.