# Трапеция (задания 17–19 и 23–25 ОГЭ)

**Разбор в формате диалога «ученик — учитель».** Участники: Учитель и Ученик (9 класс, подготовка к ОГЭ, геометрия). Пять основных задач (1–5) совпадают с материалами «Разбор 5 задач» и «Тренажёр по шагам». В конце каждой задачи есть вопрос на перенос.

**Как пользоваться:** сначала отвечай сам, потом сверяйся с диалогом. Печать: 2 колонки, шрифт 9 pt, экономия бумаги.

**Где мы в теме:** теория и устный опрос → тест → пятиминутка → этот разбор → тренажёры → зачётный лист → домашняя карточка.

---

## Часть 1. Откуда берутся формулы

**Учитель:** Что такое трапеция?

**Ученик:** Четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные — основания, остальные — боковые стороны.

**Учитель:** Зачем в определении «две другие не параллельны»?

**Ученик:** Чтобы параллелограмм не считался трапецией. У параллелограмма обе пары сторон параллельны. Так сказано в учебнике Атанасяна, по нему и пишут решения.

**Учитель:** Что такое средняя линия и чему она равна?

**Ученик:** Отрезок, который соединяет середины боковых сторон. Он параллелен основаниям и равен их полусумме: m = (a + b) / 2.

**Учитель:** Откуда это берётся? Не верь формуле на слово.

**Ученик:** Пусть в трапеции ABCD основания AD и BC, N — середина CD, M — середина AB. Проведу прямую BN и продолжу до пересечения с прямой AD в точке E. Треугольники BCN и EDN равны: CN = ND, углы при N вертикальные, углы BCN и EDN накрест лежащие при BC ∥ AD. Значит, BN = NE и DE = BC. Тогда MN — средняя линия треугольника ABE: она параллельна AE и равна половине AE. А AE = AD + DE = AD + BC. Поэтому MN = (AD + BC) / 2.

**Учитель:** Откуда формула площади?

**Ученик:** Диагональ делит трапецию на два треугольника. У одного основание AD и высота h, у другого основание BC и та же высота h, потому что BC ∥ AD. S = ½ · a · h + ½ · b · h = (a + b) / 2 · h. То есть средняя линия на высоту.

**Учитель:** Почему в равнобедренной трапеции высота отсекает именно (a − b) / 2?

**Ученик:** Опускаю две высоты из вершин меньшего основания. Получается прямоугольник со стороной b посередине и два прямоугольных треугольника по бокам. Треугольники равны по гипотенузе и катету, значит, их горизонтальные катеты равны. На них вместе приходится a − b, на каждый по (a − b) / 2.

**Учитель:** А почему для вписанной окружности суммы противоположных сторон равны?

**Ученик:** Из каждой вершины к окружности идут две касательные, и они равны. Если обозначить отрезки касательных x, y, z, t по вершинам, то AB + CD = (x + y) + (z + t), и BC + AD = (y + z) + (t + x). Обе суммы равны x + y + z + t. И высота равна диаметру, потому что окружность касается обоих оснований.

---

## Часть 2. Общий алгоритм

**Учитель:** Открой любую задачу про трапецию во второй части. С чего начнёшь?

**Ученик:** С чертежа. Рисую трапецию ABCD, основания AD и BC, вношу все данные.

**Учитель:** Что ты определяешь потом?

**Ученик:** Вид трапеции: равнобедренная, прямоугольная или произвольная. Есть ли окружность. Какие данные: стороны, диагонали, площади.

**Учитель:** И как из этого выбирается построение?

**Ученик:** Равнобедренная или прямоугольная: две высоты. Даны обе боковые стороны: через вершину провожу прямую, параллельную боковой, и получаю треугольник со сторонами c, d и a − b. Даны диагонали и сумма оснований: сдвигаю диагональ, получаю треугольник со сторонами d₁, d₂ и a + b. Даны площади треугольников у диагоналей: подобие. Есть окружность: суммы сторон и h = 2r.

**Учитель:** Что в конце?

**Ученик:** Формула площади или нужной величины, подставляю числа. Проверяю: высота меньше боковой стороны, ответ отвечает на вопрос задачи. Записываю «Ответ».

---

## Часть 3. Пять задач

### Задача 1. Диагонали и площади треугольников (№23)

**Условие.** Диагонали AC и BD трапеции ABCD с основаниями AD и BC пересекаются в точке O. Площади треугольников BOC и AOD равны 4 и 9. Найдите площадь трапеции.

**Учитель:** Что мы видим?

**Ученик:** Диагонали делят трапецию на четыре треугольника. Известны два, у оснований: BOC и AOD. Нужны ещё два, боковые AOB и COD.

**Учитель:** Что связывает треугольники BOC и AOD?

**Ученик:** Они подобны по двум углам. Угол OBC равен углу ODA как накрест лежащие при BC ∥ AD и секущей BD. Углы при точке O вертикальные.

**Учитель:** Что даёт подобие?

**Ученик:** Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия. k² = 4 : 9, значит k = BC : AD = 2 : 3. Сходственные стороны пропорциональны, поэтому AO : OC = AD : BC = 3 : 2.

**Учитель:** Как найти площадь треугольника AOB?

**Ученик:** У треугольников AOB и BOC общая высота из вершины B на прямую AC. Значит, их площади относятся как основания AO и OC. S(AOB) = S(BOC) · AO / OC = 4 · 3 / 2 = 6.

**Учитель:** А площадь COD? Считать заново?

**Ученик:** Не надо. У треугольников ABD и ACD общее основание AD и равные высоты, потому что BC ∥ AD. Площади равны. Вычитаю общий треугольник AOD и получаю S(AOB) = S(COD) = 6.

**Учитель:** Итог?

**Ученик:** S = 4 + 9 + 6 + 6 = 25.

**Ответ: 25.**

**Учитель:** Какая здесь ловушка?

**Ученик:** Сложить 4 и 9 и получить 13: забыть боковые треугольники.

**Учитель:** Вопрос на перенос. Площади BOC и AOD равны 9 и 16. Какая площадь трапеции?

**Ученик:** Боковые по √(9 · 16) = 12 каждый, итого 9 + 16 + 12 + 12 = 49. Это (3 + 4)². Но эту формулу на экзамене нужно вывести, как мы сделали.

---

### Задача 2. Равнобедренная трапеция, диагональ перпендикулярна боковой стороне (№23)

**Условие.** В равнобедренной трапеции основания равны 7 и 25, а диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь трапеции.

**Учитель:** Что дано и что нужно?

**Ученик:** Трапеция ABCD, AD = 25, BC = 7, AB = CD, диагональ AC перпендикулярна CD. Нужна площадь. Основания есть, нужна высота.

**Учитель:** Откуда её взять?

**Ученик:** Проведу высоту CH. Она отсекает от большего основания отрезок HD = (AD − BC) / 2 = (25 − 7) / 2 = 9. Это следует из равнобедренности: две высоты и прямоугольник посередине.

**Учитель:** Где используем условие про перпендикулярность?

**Ученик:** Треугольник ACD прямоугольный, угол ACD равен 90°. CH — высота, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе AD. Для неё верно: квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию катета на гипотенузу. CD² = HD · AD = 9 · 25 = 225, CD = 15.

**Учитель:** Теперь высота.

**Ученик:** Из прямоугольного треугольника CHD: CH = √(CD² − HD²) = √(225 − 81) = √144 = 12.

**Учитель:** Площадь.

**Ученик:** S = (25 + 7) / 2 · 12 = 16 · 12 = 192.

**Ответ: 192.**

**Учитель:** Как проверить?

**Ученик:** AH = 25 − 9 = 16. Для высоты CH² = AH · HD, то есть 16 · 9 = 144, а 12² = 144. Сходится.

**Учитель:** Ловушка?

**Ученик:** Перепутать 9 и 16. HD равно полуразности оснований, а AH полусумме.

**Учитель:** Вопрос на перенос. У такой трапеции основания 14 и 50. Какова площадь?

**Ученик:** Это задача 2, увеличенная в 2 раза: HD = 18, CD² = 18 · 50 = 900, CD = 30, CH = √(900 − 324) = 24, S = 32 · 24 = 768. Площадь выросла в 4 раза: 192 · 4 = 768. Верно.

---

### Задача 3. Известны боковые стороны (№23)

**Условие.** Основания трапеции равны 11 и 25, а боковые стороны равны 13 и 15. Найдите площадь трапеции.

**Учитель:** Что пробуешь первым?

**Ученик:** Опустить высоту и найти её из прямоугольного треугольника. Но тогда в нём две неизвестные: высота и проекция. Не хватает уравнения.

**Учитель:** Что можно сделать с боковой стороной?

**Ученик:** Сдвинуть её. Через вершину C провожу CE, параллельную AB, точка E на AD. Тогда ABCE — параллелограмм: BC ∥ AE и AB ∥ CE.

**Учитель:** Что мы знаем про параллелограмм?

**Ученик:** Противоположные стороны равны. AE = BC = 11 и CE = AB = 13. Отсюда ED = AD − AE = 25 − 11 = 14.

**Учитель:** Что получилось в треугольнике CED?

**Ученик:** Стороны CE = 13, CD = 15, ED = 14. Все три известны. Площадь по формуле Герона: полупериметр p = (13 + 14 + 15) / 2 = 21, S = √(21 · 8 · 7 · 6) = √7056 = 84.

**Учитель:** Откуда из этого высота трапеции?

**Ученик:** Высота CH треугольника CED, проведённая к стороне ED, и есть высота трапеции: расстояние между параллельными BC и AD. CH = 2 · 84 / 14 = 12.

**Учитель:** Площадь?

**Ученик:** S = (25 + 11) / 2 · 12 = 18 · 12 = 216.

**Ответ: 216.**

**Учитель:** Есть ли второй способ?

**Ученик:** Да. Пусть x — проекция AB на AD, h — высота. Тогда x² + h² = 169 и (14 − x)² + h² = 225. Вычитаю: 196 − 28x = 56, x = 5, h = 12. Тот же результат.

**Учитель:** Вопрос на перенос. Основания 12 и 33, боковые 13 и 20. Что изменится?

**Ученик:** ED = 33 − 12 = 21. Треугольник со сторонами 13, 20, 21: p = 27, S = √(27 · 14 · 7 · 6) = 126, высота 2 · 126 / 21 = 12, площадь трапеции (12 + 33) / 2 · 12 = 270.

---

### Задача 4. Прямоугольная трапеция и вписанная окружность (№23)

**Условие.** Около окружности радиуса 6 описана прямоугольная трапеция, большая боковая сторона которой равна 15. Найдите площадь трапеции.

**Учитель:** Что известно про высоту?

**Ученик:** Окружность касается обоих оснований, поэтому расстояние между ними равно диаметру. h = 2r = 12. В прямоугольной трапеции меньшая боковая сторона перпендикулярна основаниям, значит, AB = 12.

**Учитель:** Что нам нужно для площади?

**Ученик:** Сумма оснований. Основания по отдельности искать не надо.

**Учитель:** Как найти сумму?

**Ученик:** Трапеция описана около окружности, поэтому суммы противоположных сторон равны: AD + BC = AB + CD = 12 + 15 = 27.

**Учитель:** Площадь.

**Ученик:** S = 27 / 2 · 12 = 162.

**Ответ: 162.**

**Учитель:** Проверим без формулы описанного четырёхугольника.

**Ученик:** Проекция CD на основание √(15² − 12²) = 9, значит AD − BC = 9. Вместе с AD + BC = 27 получаю AD = 18, BC = 9. Периметр 18 + 9 + 12 + 15 = 54, полупериметр 27, S = 162, r = S / p = 162 / 27 = 6. Радиус сошёлся.

**Учитель:** Ловушка?

**Ученик:** Принять высоту за радиус: тогда получится 81. Высота равна диаметру.

**Учитель:** Вопрос на перенос. Радиус 4, большая боковая сторона 10.

**Ученик:** h = 8, AD + BC = 8 + 10 = 18, S = 18 / 2 · 8 = 72.

---

### Задача 5. Доказательство площади треугольника (№24)

**Условие.** Точка M — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника ABM равна половине площади трапеции.

**Учитель:** Чисел нет. Как работать?

**Ученик:** Вводить буквы: AD = a, BC = b, высота h. Доказательство должно быть общим, не для одного чертежа.

**Учитель:** Как выразить площадь ABM?

**Ученик:** Трапеция состоит из трёх треугольников: ABM, BCM и AMD. Поэтому S(ABM) = S − S(BCM) − S(AMD), где S — площадь трапеции.

**Учитель:** Что нужно знать про BCM и AMD?

**Ученик:** Их основания BC = b и AD = a. Нужны высоты из вершины M.

**Учитель:** Как найти расстояние от M до AD?

**Ученик:** Провожу высоту CH трапеции и перпендикуляр MK к AD. CH ∥ MK, потому что оба перпендикулярны AD. M — середина CD, значит, по теореме Фалеса K — середина HD, и MK — средняя линия треугольника CHD. MK = h / 2.

**Учитель:** А до BC?

**Ученик:** BC ∥ AD, расстояние между ними h. Поэтому расстояние от M до BC равно h − h / 2 = h / 2.

**Учитель:** Теперь площади.

**Ученик:** S(BCM) = ½ · b · h / 2 = bh / 4. S(AMD) = ½ · a · h / 2 = ah / 4. Сумма (a + b)h / 4 = S / 2, потому что S = (a + b)h / 2.

**Учитель:** Вывод.

**Ученик:** S(ABM) = S − S / 2 = S / 2. Что и требовалось доказать.

**Учитель:** Почему нельзя проверить на примере с числами?

**Ученик:** Это частный случай. Эксперт скажет, что доказано только для этих чисел, и поставит 0.

**Учитель:** Вопрос на перенос. Верно ли, что если M — середина основания BC, то S(AMD) = S / 2?

**Ученик:** Неверно. Высота треугольника AMD из вершины M равна h, основание AD = a, S(AMD) = ½ah. Это не половина S = ½(a + b)h, если a ≠ b. Половиной площадь AMD будет только при a = b, то есть для параллелограмма.

---

## Часть 4. Как записать так, чтобы эксперт не снял баллы

**Учитель:** Что эксперт не оценивает?

**Ученик:** Красоту чертежа, красивые «Дано / Найти», рациональность способа, лишние рассуждения, описки вроде пропущенного значка градуса.

**Учитель:** Из-за чего теряют баллы?

**Ученик:** Вычислительная ошибка при верном ходе — 1 балл. Ложное утверждение, например «высота делит основание пополам», или шаг без обоснования — это уже риск нуля. В доказательстве нельзя опираться на чертёж или на числа.

**Учитель:** Что можно использовать без доказательства?

**Ученик:** Любые факты из учебников: формулу площади трапеции, среднюю линию, теорему Пифагора, подобие треугольников, формулу Герона. Нестандартные формулы, такие как (√S₁ + √S₂)², нужно вывести по ходу.

**Учитель:** Что записываешь в конце?

**Ученик:** «Ответ: …». В №23 ответ — число, единицы не обязательны. В №24 — слова «что и требовалось доказать».

**Где мы в теме:** разобрали → решай тренажёр по шагам → потом тренажёр с новыми числами → зачётный лист → домашняя карточка.