# Степени (задание 8 ОГЭ)

**Разбор в формате диалога «ученик — учитель».** Участники: Учитель и Ученик (9 класс, подготовка к ОГЭ, часть 1, задание 8 «Степень и извлечение корней»). Основные задачи A–E и задачи для переноса.

**Как пользоваться:** сначала отвечай сам, потом сверяйся с диалогом. В конце каждой задачи есть задача для самостоятельного решения. Печать: 2 колонки, шрифт 9 pt, экономия бумаги.

**Где мы в теме:** теория и устный опрос → тест → пятиминутка → этот разбор → тренажёры → зачётный лист → домашняя карточка.

---

## Часть 1. Общий алгоритм (один раз для всех пяти задач)

**Учитель:** Открой любое задание 8. Что мы видим?

**Ученик:** Числовое выражение со степенями: иногда с отрицательными показателями, иногда с корнями или числами в стандартном виде. Надо найти значение.

**Учитель:** Что в ответе?

**Ученик:** Одно число. В первой части проверяется только ответ, поэтому ошибка в одном знаке показателя стоит всего балла.

**Учитель:** Тогда назови свойства степени, на которых всё держится, и откуда каждое берётся.

**Ученик:** a^m · a^n = a^(m+n): степень a^m — это m множителей a, степень a^n — ещё n множителей, всего m + n. a^m : a^n = a^(m−n): часть множителей сокращается. (a^m)^n = a^(mn): берём n групп по m множителей. (ab)^n = a^n · b^n: каждый множитель возводится в степень.

**Учитель:** А нулевой и отрицательный показатель? Это договорённость или следствие?

**Ученик:** Следствие. Если a^m : a^m считать по правилу вычитания, получится a^0, а по смыслу это 1. Значит a^0 = 1. Дальше a^0 : a^n = a^(−n), а по смыслу это 1 : a^n. Поэтому a^(−n) = 1/a^n, а дробь с отрицательным показателем переворачивается: (p/q)^(−n) = (q/p)^n.

**Учитель:** Какие ловушки бывают в знаках?

**Ученик:** Чётная степень отрицательного числа положительна, нечётная отрицательна. В (−3)^2 в квадрат возводится число с минусом, поэтому 9. В записи −3^2 минус не в основании, поэтому −9. Отрицательный показатель знак основания не меняет.

**Учитель:** Зафиксируем алгоритм, он подходит к любому заданию 8:

1. Разметь выражение: основания, показатели, скобки, знаки, корни, десятичные дроби, дробная черта.
2. Выбери приём: одно основание (или основания — степени одного числа) → свести к одному; составные основания → разложить на простые множители; корни → показатель пополам; стандартный вид → числа и степени десяти отдельно.
3. Преобразуй по свойствам: степень в степень — перемножить показатели; одинаковые основания — сложить или вычесть показатели. Считай показатель в скобках, особенно с минусами.
4. Только потом вычисли значение степени и выполни оставшиеся действия по порядку.
5. Проверь: подстановкой в исходное (хотя бы одним способом по-другому), знаком, размером ответа.
6. Запиши в бланк №1 только число: десятичная запятая, без единиц измерения и знака равенства.

---

## Часть 2. Разбор задач A–E

### Задача A. Приведение к одному основанию, степень степени, отрицательные показатели

**Условие:** найдите значение выражения (8⁻³ · 16²)/(32⁻¹ · 4⁻²).

**Учитель:** Что мы видим в этом выражении?

**Ученик:** Дробь, в числителе и знаменателе произведения степеней. Основания 8, 16, 32, 4 разные, но все они — степени числа 2. Показатели отрицательные.

**Учитель:** Какое правило нам понадобится и откуда оно?

**Ученик:** При возведении степени в степень показатели перемножают: (a^m)^n = a^(m·n). При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складывают, при делении вычитают.

**Учитель:** Составь план.

**Ученик:** Все основания к числу 2 → числитель → знаменатель → показатель частного → значение степени.

**Учитель:** Шаг 1. Запишите 8⁻³ степенью числа 2. Чему равен показатель?

**Ученик:** Не вижу, с чего начать. Откуда это берётся?

**Учитель:** 8 = 2³. При возведении степени в степень показатели перемножают: 3 · (−3).

**Ученик:** Получается так: 8⁻³ = (2³)⁻³ = 2⁻⁹.

**Учитель:** Шаг 2. Числитель 8⁻³ · 16² равен 2^k. Чему равно k?

**Ученик:** Не вижу, с чего начать. Откуда это берётся?

**Учитель:** 16 = 2⁴, значит 16² = 2⁸. Сложите показатели −9 и 8.

**Ученик:** Получается так: 2⁻⁹ · 2⁸ = 2⁻¹.

**Учитель:** Шаг 3. Знаменатель 32⁻¹ · 4⁻² равен 2^k. Чему равно k?

**Ученик:** Не вижу, с чего начать. Откуда это берётся?

**Учитель:** 32 = 2⁵, 4 = 2². Получится 2⁻⁵ · 2⁻⁴.

**Ученик:** Получается так: (2⁵)⁻¹ · (2²)⁻² = 2⁻⁵ · 2⁻⁴ = 2⁻⁹.

**Учитель:** Шаг 4. Частное 2⁻¹ : 2⁻⁹ равно 2^k. Чему равно k?

**Ученик:** Не вижу, с чего начать. Откуда это берётся?

**Учитель:** При делении показатели вычитают: −1 − (−9).

**Ученик:** Получается так: −1 − (−9) = −1 + 9 = 8.

**Учитель:** Шаг 5. Чему равно 2⁸?

**Ученик:** Не вижу, с чего начать. Откуда это берётся?

**Учитель:** 2⁴ = 16, значит 2⁸ = 16².

**Ученик:** Получается так: 2⁸ = 16² = 256.

**Учитель:** Запиши цепочку целиком.

**Ученик:** 8 = 2³, 16 = 2⁴, 32 = 2⁵, 4 = 2². Числитель: 8⁻³ · 16² = (2³)⁻³ · (2⁴)² = 2⁻⁹ · 2⁸ = 2⁻¹. Знаменатель: 32⁻¹ · 4⁻² = (2⁵)⁻¹ · (2²)⁻² = 2⁻⁵ · 2⁻⁴ = 2⁻⁹. Частное: 2⁻¹ : 2⁻⁹ = 2^(−1 − (−9)) = 2⁸ = 256. **Ответ: 256.**

**Учитель:** Проверь другим способом.

**Ученик:** Числитель: 8⁻³ = 1/512, 16² = 256, произведение 256/512 = 1/2. Знаменатель: 1/32 · 1/16 = 1/512. Частное: 1/2 : 1/512 = 256.

**Учитель:** Где чаще всего ошибаются?

**Ученик:** Вычитание отрицательного показателя: −1 − (−9) = 8, а не −10. Ещё одна частая ошибка — перемножить показатели при умножении степеней.

**Учитель:** Реши самостоятельно: (4⁻³ · 8²)/(16⁻¹ · 2³).

### Задача B. Разные основания: разложение на простые множители

**Условие:** найдите значение выражения (12⁴ · 6⁻³)/(2³ · 3).

**Учитель:** Что мы видим в этом выражении?

**Ученик:** Основания 12 и 6 нельзя свести к одному числу, но оба разлагаются на простые множители 2 и 3. В знаменателе тоже 2 и 3.

**Учитель:** Какое правило нам понадобится и откуда оно?

**Ученик:** Степень произведения равна произведению степеней: (a·b)^n = a^n·b^n. Показатели складывают только у степеней с одинаковым основанием.

**Учитель:** Составь план.

**Ученик:** Разложить основания на простые множители → собрать показатели двойки и тройки отдельно → разделить → вычислить.

**Учитель:** Шаг 1. Чему равен показатель числа 2 в 12⁴, если 12 = 2² · 3?

**Ученик:** Не вижу, с чего начать. Откуда это берётся?

**Учитель:** 12⁴ = (2² · 3)⁴ = (2²)⁴ · 3⁴.

**Ученик:** Получается так: (2²)⁴ = 2⁸, а 3⁴ остаётся.

**Учитель:** Шаг 2. Чему равен показатель числа 3 в числителе 12⁴ · 6⁻³? Из 12⁴ получается 3⁴, из 6⁻³ — 3⁻³.

**Ученик:** Не вижу, с чего начать. Откуда это берётся?

**Учитель:** Сложите показатели тройки: 4 + (−3).

**Ученик:** Получается так: 3⁴ · 3⁻³ = 3¹.

**Учитель:** Шаг 3. Чему равен показатель числа 2 в числителе? Из 12⁴ получается 2⁸, из 6⁻³ — 2⁻³.

**Ученик:** Не вижу, с чего начать. Откуда это берётся?

**Учитель:** Сложите показатели двойки: 8 + (−3).

**Ученик:** Получается так: 2⁸ · 2⁻³ = 2⁵.

**Учитель:** Шаг 4. Числитель равен 2⁵ · 3, знаменатель 2³ · 3. Чему равен показатель числа 2 в частном?

**Ученик:** Не вижу, с чего начать. Откуда это берётся?

**Учитель:** При делении показатели вычитают: 5 − 3.

**Ученик:** Получается так: 2⁵ : 2³ = 2². Тройки сократились: 3^(1 − 1) = 3⁰ = 1.

**Учитель:** Шаг 5. Чему равно значение выражения 2² · 3⁰?

**Ученик:** Не вижу, с чего начать. Откуда это берётся?

**Учитель:** Нулевая степень любого числа, не равного нулю, равна 1.

**Ученик:** Получается так: 2² · 3⁰ = 4 · 1 = 4.

**Учитель:** Запиши цепочку целиком.

**Ученик:** 12 = 2² · 3, значит 12⁴ = (2² · 3)⁴ = 2⁸ · 3⁴. 6 = 2 · 3, значит 6⁻³ = 2⁻³ · 3⁻³. Числитель: 2⁸ · 3⁴ · 2⁻³ · 3⁻³ = 2^(8 − 3) · 3^(4 − 3) = 2⁵ · 3. Знаменатель: 2³ · 3. Частное: (2⁵ · 3) : (2³ · 3) = 2^(5 − 3) · 3^(1 − 1) = 2² · 3⁰ = 4 · 1 = 4. **Ответ: 4.**

**Учитель:** Проверь другим способом.

**Ученик:** Числитель: 12⁴ = 20736, 6⁻³ = 1/216, значение 20736/216 = 96. Знаменатель 8 · 3 = 24. Частное 96 : 24 = 4.

**Учитель:** Где чаще всего ошибаются?

**Ученик:** Нельзя складывать показатели у разных оснований: 12⁴ · 6⁻³ не равно ни 12¹, ни 6¹ (значение равно 96). Сначала разложение на простые множители, потом показатели каждого множителя отдельно.

**Учитель:** Реши самостоятельно: (18³ · 6⁻²)/(2² · 3).

### Задача C. Отрицательные основания, отрицательный показатель, порядок действий

**Условие:** найдите значение выражения (−2)⁻³ · (−4)³ − (−3)² : 3².

**Учитель:** Что мы видим в этом выражении?

**Ученик:** Отрицательные основания в скобках, один отрицательный показатель, умножение, деление и вычитание. Главная трудность — знаки.

**Учитель:** Какое правило нам понадобится и откуда оно?

**Ученик:** Степень отрицательного числа с чётным показателем положительна, с нечётным — отрицательна. a^(−n) = 1/(a^n). Сначала возведение в степень, затем умножение и деление слева направо, затем вычитание.

**Учитель:** Составь план.

**Ученик:** Каждая степень отдельно (со знаком) → умножение и деление → вычитание.

**Учитель:** Шаг 1. Чему равно (−2)⁻³? Ответ запишите десятичной дробью.

**Ученик:** Не вижу, с чего начать. Откуда это берётся?

**Учитель:** (−2)⁻³ = 1/((−2)³). Нечётная степень отрицательного числа отрицательна.

**Ученик:** Получается так: (−2)³ = −8, значит (−2)⁻³ = 1/(−8) = −0,125.

**Учитель:** Шаг 2. Чему равно (−4)³?

**Ученик:** Не вижу, с чего начать. Откуда это берётся?

**Учитель:** Нечётный показатель — результат отрицательный. 4³ = 64.

**Ученик:** Получается так: (−4)³ = −64.

**Учитель:** Шаг 3. Чему равно произведение −0,125 · (−64)?

**Ученик:** Не вижу, с чего начать. Откуда это берётся?

**Учитель:** Знаки одинаковые. 0,125 = 1/8.

**Ученик:** Получается так: 1/8 · 64 = 8.

**Учитель:** Шаг 4. Чему равно (−3)² : 3²?

**Ученик:** Не вижу, с чего начать. Откуда это берётся?

**Учитель:** (−3)² = 9 и 3² = 9.

**Ученик:** Получается так: 9 : 9 = 1.

**Учитель:** Шаг 5. Чему равно значение выражения 8 − 1?

**Ученик:** Не вижу, с чего начать. Откуда это берётся?

**Учитель:** Последнее действие — вычитание.

**Ученик:** Получается так: Ответ: 7.

**Учитель:** Запиши цепочку целиком.

**Ученик:** (−2)⁻³ = 1/((−2)³) = 1/(−8) = −0,125. (−4)³ = −64. Произведение: −0,125 · (−64) = 8 (знаки одинаковые, результат положительный). (−3)² = 9; 9 : 3² = 9 : 9 = 1. 8 − 1 = 7. **Ответ: 7.**

**Учитель:** Проверь другим способом.

**Ученик:** Через степени двойки: (−4)³ = −2⁶, (−2)⁻³ = −2⁻³, их произведение 2³ = 8. Дальше 8 − 1 = 7.

**Учитель:** Где чаще всего ошибаются?

**Ученик:** (−3)² = 9, а не −9: скобки значат, что в квадрат возводят число с минусом. Отрицательный показатель не меняет знак основания: (−2)⁻³ = −0,125, а не 0,125.

**Учитель:** Реши самостоятельно: (−2)⁻⁴ · (−6)² − (−4)³ : 8.

### Задача D. Корень из степени и степень произведения

**Условие:** найдите значение выражения (√(2⁶ · 3⁴))/((2⁻¹ · 3)²).

**Учитель:** Что мы видим в этом выражении?

**Ученик:** Корень из произведения степеней в числителе и степень произведения в знаменателе.

**Учитель:** Какое правило нам понадобится и откуда оно?

**Ученик:** Для неотрицательных чисел √(a·b) = √a · √b и √(a²) = a. Степень произведения равна произведению степеней: (a·b)^n = a^n·b^n.

**Учитель:** Составь план.

**Ученик:** Числитель: корень из каждого множителя → знаменатель: степень каждого множителя → деление.

**Учитель:** Шаг 1. Чему равно √(2⁶)?

**Ученик:** Не вижу, с чего начать. Откуда это берётся?

**Учитель:** 2⁶ = (2³)².

**Ученик:** Получается так: √((2³)²) = 2³ = 8.

**Учитель:** Шаг 2. Чему равно √(3⁴)?

**Ученик:** Не вижу, с чего начать. Откуда это берётся?

**Учитель:** 3⁴ = (3²)².

**Ученик:** Получается так: √((3²)²) = 3² = 9.

**Учитель:** Шаг 3. Чему равно значение числителя √(2⁶ · 3⁴)?

**Ученик:** Не вижу, с чего начать. Откуда это берётся?

**Учитель:** Корень из произведения равен произведению корней: 8 · 9.

**Ученик:** Получается так: 8 · 9 = 72.

**Учитель:** Шаг 4. Чему равно (2⁻¹ · 3)²? Можно писать дробью, например 9/4.

**Ученик:** Не вижу, с чего начать. Откуда это берётся?

**Учитель:** 2⁻¹ · 3 = 3/2. Возведите в квадрат.

**Ученик:** Получается так: (3/2)² = 9/4 = 2,25.

**Учитель:** Шаг 5. Чему равно 72 : 2,25?

**Ученик:** Не вижу, с чего начать. Откуда это берётся?

**Учитель:** 2,25 = 9/4. Делить на дробь — умножать на обратную.

**Ученик:** Получается так: 72 · 4/9 = 8 · 4 = 32.

**Учитель:** Запиши цепочку целиком.

**Ученик:** √(2⁶ · 3⁴) = √(2⁶) · √(3⁴) = 2³ · 3² = 8 · 9 = 72. (2⁻¹ · 3)² = 2⁻² · 3² = 9/4 = 2,25. 72 : 9/4 = 72 · 4/9 = 32. **Ответ: 32.**

**Учитель:** Проверь другим способом.

**Ученик:** Числитель: √(64 · 81) = √5184 = 72, так как 72² = 5184. Знаменатель: (3/2)² = 2,25. Частное 72 : 2,25 = 32.

**Учитель:** Где чаще всего ошибаются?

**Ученик:** Корень делит показатель пополам: √(2⁶) = 2³, а не 2¹² и не 2⁶. В степень возводят каждый множитель: (2⁻¹ · 3)² = 2⁻² · 3², а не 2⁻¹ · 3².

**Учитель:** Реши самостоятельно: √(2⁴ · 3⁶) : (2 · 3⁻¹)².

### Задача E. Стандартный вид числа и степени десяти

**Условие:** найдите значение выражения (3,6 · 10⁵ · 5 · 10⁻³)/(1,2 · 10²).

**Учитель:** Что мы видим в этом выражении?

**Ученик:** Числа в стандартном виде: десятичные множители и степени десяти с разными показателями.

**Учитель:** Какое правило нам понадобится и откуда оно?

**Ученик:** При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают, при делении вычитают. Десятичные множители и степени десяти считают отдельно.

**Учитель:** Составь план.

**Ученик:** Числитель: множители отдельно, степени десяти отдельно → знаменатель → сократить степени десяти → разделить множители.

**Учитель:** Шаг 1. Чему равно 3,6 · 5?

**Ученик:** Не вижу, с чего начать. Откуда это берётся?

**Учитель:** 36 · 5 = 180, затем отделите один знак.

**Ученик:** Получается так: 3,6 · 5 = 18.

**Учитель:** Шаг 2. Произведение 10⁵ · 10⁻³ равно 10^k. Чему равно k?

**Ученик:** Не вижу, с чего начать. Откуда это берётся?

**Учитель:** Показатели складывают: 5 + (−3).

**Ученик:** Получается так: 10⁵ · 10⁻³ = 10².

**Учитель:** Шаг 3. Чему равно значение числителя 18 · 10²?

**Ученик:** Не вижу, с чего начать. Откуда это берётся?

**Учитель:** 10² = 100.

**Ученик:** Получается так: 18 · 100 = 1800.

**Учитель:** Шаг 4. Чему равно значение знаменателя 1,2 · 10²?

**Ученик:** Не вижу, с чего начать. Откуда это берётся?

**Учитель:** 10² = 100.

**Ученик:** Получается так: 1,2 · 100 = 120.

**Учитель:** Шаг 5. Чему равно 1800 : 120?

**Ученик:** Не вижу, с чего начать. Откуда это берётся?

**Учитель:** Сократите на 10, затем на 12: 180 : 12.

**Ученик:** Получается так: 180 : 12 = 15.

**Учитель:** Запиши цепочку целиком.

**Ученик:** Числитель: 3,6 · 5 = 18; 10⁵ · 10⁻³ = 10². Значит числитель равен 18 · 10². Знаменатель: 1,2 · 10². (18 · 10²)/(1,2 · 10²) = 18/1,2 = 180/12 = 15 (степени десяти сократились). **Ответ: 15.**

**Учитель:** Проверь другим способом.

**Ученик:** Без степеней: 3,6 · 10⁵ = 360000, 5 · 10⁻³ = 0,005, произведение 1800. Знаменатель 1,2 · 10² = 120. 1800 : 120 = 15.

**Учитель:** Где чаще всего ошибаются?

**Ученик:** 10⁵ · 10⁻³ = 10² (показатели складывают), а не 10⁻¹⁵ и не 10⁸. При делении 18 : 1,2 переносите запятую в обоих числах: 180 : 12.

**Учитель:** Реши самостоятельно: (2,4 · 10⁻³ · 5 · 10⁶)/(3 · 10²).

---

## Ответы к задачам для самостоятельного решения (для учителя)

A: 2 · B: 13,5 · C: 10,25 · D: 243 · E: 40.

Ответы на основные задачи: A: 256 · B: 4 · C: 7 · D: 32 · E: 15.

---

## План индивидуального урока, 60 минут

1. **0–5 мин. Вход.** Устный опрос: 5 вопросов из теории (рекомендую вопросы про a^0, a^(−n), знак (−2)^3 и −2^2, степень степени). Ошибки записать: они определят акценты урока.
2. **5–15 мин. Теория.** Диалог «Часть 1»: ученик сам выводит a^0 и a^(−n) из правила деления и объясняет правило знаков. Учитель фиксирует алгоритм, памятка остаётся перед глазами.
3. **15–25 мин. Разбор в диалоге.** Задача A: учитель только задаёт вопросы, ученик вслух объясняет «откуда это берётся».
4. **25–40 мин. Самостоятельная работа.** Задачи B и C. Ученик записывает каждое действие, учитель молчит и фиксирует ошибки. Затем сверка с разбором и ловушками.
5. **40–50 мин. Пятиминутка.** Вариант А (5–7 минут), проверка по ответам. Четыре и более баллов из пяти: тренажёр с новыми числами; меньше: повторить ловушки, где были ошибки.
6. **50–57 мин. Работа над ошибками и бланк.** Каждая ошибка: какое правило нарушено, переписать верно, решить аналогичное. Потренироваться записывать ответ в бланк №1 (запятая, без единиц).
7. **57–60 мин. Итог и ДЗ.** Ученик называет три ловушки и два признака, по которым выбирает приём. Выдать домашнюю карточку. Самооценка от 1 до 5: «могу объяснить это другому».

Резерв: если урок идёт быстрее, разобрать D (корни) или E (стандартный вид). Если медленнее, пятиминутку перенести на домашнюю работу.

---

## План домашней работы

1. **День 1.** Домашняя карточка: 4 задачи, 20–25 минут. Записывать каждое действие, ответ вносить в бланк по правилам памятки.
2. **Дни 2–3.** Тренажёр с новыми числами: по 5 заданий в день, брать типы, где были ошибки на уроке.
3. **Перед следующим уроком.** 3 вопроса устного опроса, ученик отвечает первым делом (5 минут).
4. **Следующий урок.** Проверка карточки по ключевым точкам из её конца (10 минут), затем зачётный лист (уровни 1 и 2) на оценку; уровень 3 по желанию.
5. **Через неделю.** Три задачи на степени вперемешку с другой темой (дроби, проценты, уравнения), чтобы проверить, что навык удержался.