# Смеси (задание 21)

## Разбор в формате диалога «ученик — учитель», план урока и домашнее задание

**Участники:** Учитель и Ученик (9 класс, подготовка к ОГЭ, часть 2, задание 21, средний уровень).
**Как пользоваться:** сначала отвечай сам, потом сверяйся с диалогом. После каждой задачи — похожая для самостоятельного решения (ответы в конце файла).
**Где мы в теме:** теория и устный опрос → тест → пятиминутка → этот разбор → тренажёры → зачётный лист → домашняя карточка.
**Задачи разбора:** 1. Выпаривание. 2. Смесь двух растворов. 3. Переливание. 4. Два условия, система. 5. Сплавы.

---

# Задача 1. Выпаривание

**Условие.** Имеется 50 кг 16%-ного раствора соли. Сколько килограммов воды нужно выпарить, чтобы концентрация соли стала 25%?

## Этап 1. Что мы видим

**Учитель:** Прочитай условие. Что мы видим?

**Ученик:** Задача на растворы, задание 21. Был раствор 50 кг, в нём 16 процентов соли. Воду выпаривают, и соли должно стать 25 процентов. Надо найти, сколько воды выпарили.

**Учитель:** Что в этом условии легко понять неверно?

**Ученик:** Можно найти массу нового раствора и записать её в ответ. А спрашивают про воду.

## Этап 2. Как мы решаем подобное

**Учитель:** Что такое концентрация вещества в растворе?

**Ученик:** Это отношение массы вещества к массе всего раствора. Можно в процентах.

**Учитель:** Верно. Как из неё найти массу вещества?

**Ученик:** Массу раствора умножить на концентрацию, переведённую в десятичную дробь.

**Учитель:** Что происходит с массой соли, когда воду выпаривают?

**Ученик:** Ничего. Уходит только вода, соль остаётся.

## Этап 3. Алгоритм

**Учитель:** Назови шаги решения до того, как начнём считать.

**Ученик:** Найти, сколько соли в исходном растворе. Обозначить массу нового раствора. Приравнять: соли в новом растворе столько же. Найти массу нового раствора. Вычесть из прежней массы, чтобы узнать воду.

**Учитель:** Зафиксируем так:

1. Найти массу вещества: масса раствора · концентрация.
2. Обозначить неизвестное (масса нового раствора или масса воды).
3. Записать уравнение: масса вещества не меняется.
4. Решить уравнение.
5. Ответить на заданный вопрос и проверить.

## Этап 4. Решаем по алгоритму

**Учитель:** Шаг 1. Сколько соли в исходном растворе?

**Ученик:** 50 умножить на 0,16. Это 8 килограммов.

**Учитель:** Шаг 2. Что обозначим за неизвестное и какие у него ограничения?

**Ученик:** Пусть m килограммов — масса нового раствора. Она меньше 50, потому что воду убрали, и больше 0.

**Учитель:** Шаг 3. Сколько соли в новом растворе, если его масса m?

**Ученик:** 0,25 умножить на m.

**Учитель:** Какое уравнение получится?

**Ученик:** 0,25m равно 8, потому что соли столько же, сколько было.

> **Если ученик ответит:** «0,25m = 50».
> **Учитель:** Что стоит в правой части: масса соли или масса раствора?

**Учитель:** Шаг 4. Реши уравнение.

**Ученик:** m равно 8 делить на 0,25. Это 32.

**Учитель:** Шаг 5. Что получилось: масса воды или масса нового раствора?

**Ученик:** Масса нового раствора. Воды выпарили 50 минус 32, это 18 килограммов.

## Этап 5. Проверка и ответ

**Учитель:** Как проверить?

**Ученик:** В 32 килограммах раствора 8 килограммов соли. 8 делить на 32 это 0,25, то есть 25 процентов. Подходит.

**Учитель:** Как записать ответ в бланк?

**Ученик:** Только число: 18. Единицы в бланк не пишут.

## Этап 6. Перенос

**Учитель:** По каким признакам ты в следующий раз узнаешь такую задачу?

**Ученик:** Слова «выпарить» или «добавили воды», нет другого раствора. Сохраняется масса вещества.

**Учитель:** Реши самостоятельно: имеется 60 кг 10%-ного раствора соли. Сколько килограммов воды нужно выпарить, чтобы концентрация соли стала 15%?

---

# Задача 2. Смесь двух растворов

**Условие.** Смешали 30%-ный и 50%-ный растворы кислоты и получили 600 г 42%-ного раствора. Сколько граммов 50%-ного раствора взяли?

## Этап 1. Что мы видим

**Учитель:** Что мы видим?

**Ученик:** Смешали два раствора кислоты, 30 и 50 процентов. Получили 600 граммов с 42 процентами. Спрашивают массу 50%-ного раствора.

**Учитель:** Что здесь ловушка?

**Ученик:** Если я обозначу x массу 30%-ного, то x не будет ответом. Ответ — это 600 минус x.

## Этап 2. Как мы решаем подобное

**Учитель:** Что складывается, когда растворы смешивают?

**Ученик:** Массы растворов и массы вещества.

**Учитель:** А что складывать нельзя?

**Ученик:** Концентрации. 30 плюс 50 не равно 42.

**Учитель:** Почему?

**Ученик:** Концентрация — это доля, она зависит от массы раствора. Сначала надо найти массу вещества, потом делить.

## Этап 3. Алгоритм

**Учитель:** Как будем решать?

**Ученик:** Обозначить массу одного раствора через x, второй выразить через x. Записать, сколько кислоты в каждом. Приравнять сумму к кислоте в смеси. Решить. Ответить про нужный раствор.

**Учитель:** Фиксируем:

1. Пусть x — масса первого раствора, (M − x) — масса второго.
2. Масса вещества в каждом: масса · концентрация.
3. Уравнение: вещество первого + вещество второго = вещество в смеси.
4. Решить, отобрать корень.
5. Ответить на заданный вопрос.

## Этап 4. Решаем по алгоритму

**Учитель:** Шаг 1. Что обозначим за x?

**Ученик:** Пусть x граммов — масса 30%-ного раствора. Тогда 50%-ного будет 600 минус x граммов. x больше 0 и меньше 600.

**Учитель:** Шаг 2. Сколько кислоты в каждом растворе?

**Ученик:** В первом 0,3x. Во втором 0,5 умножить на (600 минус x).

**Учитель:** Сколько кислоты должно быть в смеси?

**Ученик:** 0,42 умножить на 600. Это 252 грамма.

**Учитель:** Шаг 3. Составь уравнение.

**Ученик:** 0,3x плюс 0,5 на (600 минус x) равно 252.

> **Если ученик ответит:** «0,3 + 0,5 = 0,42».
> **Учитель:** Что мы складываем в этой записи: массы вещества или концентрации?

**Учитель:** Шаг 4. Решай.

**Ученик:** Раскрываю скобки: 0,3x плюс 300 минус 0,5x равно 252. Получается 300 минус 0,2x равно 252. 0,2x равно 48. x равно 240.

**Учитель:** Что мы нашли?

**Ученик:** Массу 30%-ного раствора. Нужен 50%-ный: 600 минус 240 равно 360 граммов.

## Этап 5. Проверка и ответ

**Учитель:** Как проверить?

**Ученик:** Кислоты в 240 граммах 30%-ного раствора 72 грамма, в 360 граммах 50%-ного 180 граммов. Вместе 252. И 42 процента от 600 тоже 252.

**Учитель:** Есть ли быстрая проверка без уравнения?

**Ученик:** Правило креста. Из большей концентрации вычитаем нужную: 50 минус 42 это 8. Из нужной вычитаем меньшую: 42 минус 30 это 12. Масса 30%-ного относится к массе 50%-ного как 8 к 12, то есть 2 к 3. И 240 к 360 тоже 2 к 3.

**Учитель:** Верно. А в записи решения для эксперта что пишем?

**Ученик:** Уравнение. Крест только для проверки. Ответ: 360.

## Этап 6. Перенос

**Учитель:** По каким признакам ты узнаешь такую задачу?

**Ученик:** Слова «смешали» и два раствора. Известна масса смеси и её концентрация. Уравнение по веществу.

**Учитель:** Реши самостоятельно: смешали 20%-ный и 40%-ный растворы и получили 400 г 35%-ного раствора. Сколько граммов 20%-ного раствора взяли?

---

# Задача 3. Переливание

**Условие.** Сосуд вместимостью 10 л наполнен 80%-ным раствором кислоты. Из сосуда отлили x л раствора и долили x л воды, затем эту операцию повторили. В результате получился 20%-ный раствор. Найдите x. Ответ дайте в литрах.

## Этап 1. Что мы видим

**Учитель:** Что мы видим?

**Ученик:** Сосуд на 10 литров, в нём 80%-ный раствор. Отливают x литров, доливают x литров воды, и так два раза. В конце 20 процентов. Надо найти x.

**Учитель:** Какие ограничения на x ты видишь сразу?

**Ученик:** x больше 0 и меньше 10, ведь нельзя отлить больше, чем в сосуде.

## Этап 2. Как мы решаем подобное

**Учитель:** Что происходит с концентрацией, когда из сосуда отлили часть раствора?

**Ученик:** Ничего не меняется. Раствор в сосуде тот же, просто его меньше.

**Учитель:** А с массой кислоты?

**Ученик:** Её тоже стало меньше, пропорционально объёму. Осталось (10 минус x) из 10 частей.

**Учитель:** Что происходит, когда доливают воду?

**Ученик:** Кислоты не прибавляется, а объём опять 10 литров. Значит концентрация уменьшается.

## Этап 3. Алгоритм

**Учитель:** Назови шаги.

**Ученик:** Посмотреть, во сколько раз меняется концентрация за один цикл. Возвести в степень по числу циклов. Приравнять к конечной концентрации. Решить, отобрать корень.

**Учитель:** Фиксируем:

1. За один цикл концентрация умножается на (1 − x/V).
2. После n циклов: c · (1 − x/V)ⁿ.
3. Приравнять к конечной концентрации.
4. Решить уравнение, отобрать корень по смыслу (0 < x < V).
5. Проверить подстановкой, записать ответ.

## Этап 4. Решаем по алгоритму

**Учитель:** Шаг 1. Выведи, на что умножается концентрация за один цикл.

**Ученик:** Кислоты после отлива 0,8 умножить на (10 минус x). Объём после доливания 10. Концентрация равна 0,8 на (10 минус x), делить на 10. Это 0,8 на (1 минус x/10).

**Учитель:** Шаг 2. Что будет после второго цикла?

**Ученик:** Ещё раз умножаем на (1 минус x/10). Получается 0,8 на (1 минус x/10) в квадрате.

> **Если ученик ответит:** «0,8(1 − 2x/10)».
> **Учитель:** Во второй раз ты отливаешь x литров чего: исходного раствора или уже разбавленного?

**Учитель:** Шаг 3. Какое уравнение?

**Ученик:** 0,8 на (1 минус x/10) в квадрате равно 0,2.

**Учитель:** Шаг 4. Реши.

**Ученик:** Делю на 0,8: (1 минус x/10) в квадрате равно 0,25. Тогда 1 минус x/10 равно 0,5 или минус 0,5.

**Учитель:** Что получится для x в каждом случае?

**Ученик:** Если 0,5, то x равно 5. Если минус 0,5, то x/10 равно 1,5 и x равно 15.

**Учитель:** Какой корень подходит?

**Ученик:** Только 5. 15 больше десяти, столько в сосуде нет.

## Этап 5. Проверка и ответ

**Учитель:** Как проверить?

**Ученик:** После первого цикла 0,8 умножить на 0,5 это 0,4. После второго 0,4 на 0,5 это 0,2. Сходится с условием.

**Учитель:** Как записать ответ?

**Ученик:** 5, без единиц.

## Этап 6. Перенос

**Учитель:** По каким признакам ты узнаешь такую задачу?

**Ученик:** Слова «отлили и долили воды», «операцию повторили». Есть объём сосуда. Множитель в степени.

**Учитель:** Реши самостоятельно: сосуд вместимостью 20 л наполнен 64%-ным раствором соли. Из него отлили x л и долили x л воды, затем операцию повторили, получился 36%-ный раствор. Найдите x.

---

# Задача 4. Два условия, система

**Условие.** Имеются два сосуда. Первый содержит 20 кг, а второй — 30 кг раствора кислоты разной концентрации. Если их слить вместе, получится раствор, содержащий 52% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, получится раствор, содержащий 55% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

## Этап 1. Что мы видим

**Учитель:** Что мы видим?

**Ученик:** Два сосуда с растворами кислоты, концентрации не известны. Есть два условия: слить всё и слить равные массы. Нужна масса кислоты в первом сосуде.

**Учитель:** Что нам неизвестно?

**Ученик:** Сколько кислоты в каждом сосуде. Значит неизвестных два.

**Учитель:** Что тогда будем составлять?

**Ученик:** Систему из двух уравнений.

## Этап 2. Как мы решаем подобное

**Учитель:** Как выразить концентрацию раствора в сосуде, если в нём x кг кислоты и 20 кг раствора?

**Ученик:** x делить на 20.

**Учитель:** Что будет с массой кислоты, если слить всё содержимое двух сосудов?

**Ученик:** Кислоты станет x плюс y, а масса раствора 20 плюс 30, то есть 50.

## Этап 3. Алгоритм

**Учитель:** Какие шаги?

**Ученик:** Обозначить массы кислоты в сосудах. Записать первое условие. Записать второе. Решить систему. Ответить на вопрос.

**Учитель:** Фиксируем:

1. Пусть x кг — кислоты в первом сосуде, y кг — во втором. Концентрации x/m₁ и y/m₂.
2. Первое условие (слили всё): x + y = c₁ · (m₁ + m₂).
3. Второе условие (равные массы m): m·x/m₁ + m·y/m₂ = c₂ · 2m, масса m сокращается.
4. Решить систему.
5. Проверить, ответить на заданный вопрос.

## Этап 4. Решаем по алгоритму

**Учитель:** Шаг 1. Что за x и y, какие ограничения?

**Ученик:** x килограммов кислоты в первом сосуде, y во втором. Оба больше нуля. x меньше 20, y меньше 30.

**Учитель:** Шаг 2. Запиши первое условие.

**Ученик:** Слили всё, получили 50 килограммов раствора, в нём 52 процента кислоты. 0,52 на 50 это 26. Значит x плюс y равно 26.

**Учитель:** Шаг 3. Сколько кислоты в m кг раствора из первого сосуда?

**Ученик:** Концентрация первого x делить на 20. Кислоты m на x делить на 20.

**Учитель:** А из второго?

**Ученик:** m на y делить на 30.

**Учитель:** Какова масса смеси?

**Ученик:** 2m, ведь взяли по m килограммов каждого раствора.

**Учитель:** Какое уравнение получится?

**Ученик:** Кислоты в смеси 55 процентов от 2m. m на x/20 плюс m на y/30 равно 0,55 на 2m. Делю на m: x/20 плюс y/30 равно 1,1.

> **Если ученик ответит:** «x + y = 0,55 · 50».
> **Учитель:** Какие массы растворов берём во втором условии: всё содержимое сосудов или равные части?

**Учитель:** Как упростить уравнение с дробями?

**Ученик:** Умножить на 60, общее кратное 20 и 30. Получается 3x плюс 2y равно 66.

**Учитель:** Шаг 4. Реши систему.

**Ученик:** Из первого y равно 26 минус x. Подставляю: 3x плюс 52 минус 2x равно 66. Значит x равно 14, а y равно 12.

## Этап 5. Проверка и ответ

**Учитель:** Как проверить?

**Ученик:** Концентрация первого 14 делить на 20 это 0,7. Второго 12 делить на 30 это 0,4. Среднее равно 0,55. Всего кислоты 26 из 50, это 52 процента. Всё сходится.

**Учитель:** Что записываем в ответ?

**Ученик:** Массу кислоты в первом сосуде: 14. Не концентрацию и не y.

## Этап 6. Перенос

**Учитель:** По каким признакам ты узнаешь такую задачу?

**Ученик:** Два сосуда, концентрации не даны, два условия: «слили всё» и «равные массы». Нужна система.

**Учитель:** Реши самостоятельно: в первом сосуде 10 кг, во втором 30 кг раствора кислоты разной концентрации. Если растворы слить, получится 65%-ный раствор, а если слить равные массы, то 60%-ный. Сколько килограммов кислоты во втором сосуде?

---

# Задача 5. Сплавы

**Условие.** Имеются два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 40% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 300 кг, содержащий 34% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

## Этап 1. Что мы видим

**Учитель:** Что мы видим?

**Ученик:** Сплавы, как растворы. Два сплава с никелем, 10 и 40 процентов. Третий весит 300 килограммов, в нём 34 процента никеля. Надо найти, на сколько первый легче второго.

**Учитель:** В чём ловушка?

**Ученик:** Можно найти массу первого сплава и записать в ответ. А нужна разность.

## Этап 2. Как мы решаем подобное

**Учитель:** Что происходит с металлом при сплавлении?

**Ученик:** Он весь переходит в третий сплав. Масса третьего сплава равна сумме масс двух первых.

**Учитель:** Как найти массу никеля в сплаве?

**Ученик:** Массу сплава умножить на долю никеля, переведённую в десятичную дробь.

## Этап 3. Алгоритм

**Учитель:** Какие шаги?

**Ученик:** Обозначить массы двух сплавов x и y. Составить уравнение по массе сплавов. Составить уравнение по никелю. Решить систему. Найти то, что спрашивают.

**Учитель:** Фиксируем:

1. Пусть x кг и y кг — массы первого и второго сплавов.
2. x + y = масса третьего сплава.
3. Вещество: c₁x + c₂y = c₃ · (масса третьего).
4. Решить систему.
5. Найти величину из вопроса (разность, масса третьего или x), проверить.

## Этап 4. Решаем по алгоритму

**Учитель:** Шаг 1. Что обозначим?

**Ученик:** Пусть x килограммов — первый сплав, y килограммов — второй. Оба больше нуля.

**Учитель:** Шаг 2. Первое уравнение?

**Ученик:** x плюс y равно 300.

**Учитель:** Шаг 3. Сколько никеля в третьем сплаве?

**Ученик:** 0,34 умножить на 300. Это 102 килограмма.

**Учитель:** Второе уравнение?

**Ученик:** 0,1x плюс 0,4y равно 102.

> **Если ученик ответит:** «0,1x + 0,4y = 0,34».
> **Учитель:** Что стоит справа: масса никеля в килограммах или доля?

**Учитель:** Шаг 4. Реши систему.

**Ученик:** Из первого y равно 300 минус x. Подставляю: 0,1x плюс 120 минус 0,4x равно 102. Получается минус 0,3x равно минус 18. x равно 60. Тогда y равно 240.

**Учитель:** Шаг 5. Что спрашивают в задаче?

**Ученик:** На сколько первый меньше второго. 240 минус 60 это 180 килограммов.

## Этап 5. Проверка и ответ

**Учитель:** Как проверить?

**Ученик:** Никеля в первом 6 килограммов, во втором 96. Вместе 102. И 34 процента от 300 тоже 102. Сходится.

**Учитель:** Как записать ответ?

**Ученик:** 180.

## Этап 6. Перенос

**Учитель:** По каким признакам ты узнаешь такую задачу?

**Ученик:** «Сплав», известна масса третьего, спрашивают про массы исходных. Система из массы и вещества.

**Учитель:** Реши самостоятельно: первый сплав содержит 20% олова, второй — 50% олова. Из них получили 240 кг сплава с 38% олова. На сколько килограммов масса второго сплава больше массы первого?

---

# Ответы на задачи для самостоятельного решения (этап 6)

1. **20 кг.** Соли 60 · 0,1 = 6 кг; новый раствор 6 : 0,15 = 40 кг; выпарили 60 − 40 = 20 кг.
2. **100 г.** 0,2x + 0,4(400 − x) = 0,35 · 400; 160 − 0,2x = 140; x = 100. Проверка: 20 + 120 = 140.
3. **5 л.** 0,64(1 − x/20)² = 0,36; (1 − x/20)² = 0,5625; 1 − x/20 = 0,75; x = 5. Корень x = 35 не подходит, так как 35 > 20.
4. **21 кг.** x + y = 0,65 · 40 = 26; x/10 + y/30 = 2 · 0,6 = 1,2, то есть 3x + y = 36. Вычитаем: 2x = 10; x = 5, y = 21.
5. **48 кг.** x + y = 240; 0,2x + 0,5y = 0,38 · 240 = 91,2; 0,2x + 120 − 0,5x = 91,2; x = 96, y = 144; 144 − 96 = 48.

---

# План урока и домашнего задания

**Формат:** индивидуальное занятие, 60 минут, 9 класс, подготовка к ОГЭ.
**Цель:** ученик называет алгоритм для задач на смеси, заполняет таблицу «масса · доля = масса вещества», составляет уравнение по веществу и оформляет одну задачу на 2 балла.

## Ход урока

| Минуты | Что делаем | Материал |
|---|---|---|
| 0–5 | Устный опрос: вопросы 3, 6, 7, 9, 13. Ошибки записываем, не поправляем. | Теория и опрос |
| 5–12 | Открытие: смешали 200 г 10%-ного и 300 г 20%-ного растворов, будет ли 15%? Прогноз, затем таблица: 16%. Вывод: складывают массы вещества, а не концентрации. | Теория, правила 2–3 |
| 12–27 | Разбор вслух задач 1 (выпаривание) и 5 (сплавы) по этапам диалога. Алгоритм ученик называет до счёта. | Этот файл; разбор 5 задач |
| 27–37 | Пятиминутка (вариант А или Б), 7 минут без подсказок, затем сверка. | Карточки-пятиминутки |
| 37–50 | Самостоятельно: задача 3 или 4 в интерактивном тренажёре по шагам, затем запись на листе как на экзамене. | Тренажёр; памятка |
| 50–57 | Учитель — эксперт: проверка записи по критериям памятки, ученик находит потерянный балл и переписывает. | Памятка |
| 57–60 | Итог: «по каким признакам узнаёшь задачу на смеси?». Возвращаемся к вопросу из опроса, где была ошибка. Выдаём ДЗ. | Домашняя карточка |

## Подстройка под уровень

- **Трек A:** в блоке 12–27 разбираем задачи 1 и 2 целиком; самостоятельно — задача 1 в тренажёре; ДЗ — задачи 1 и 2.
- **Трек B:** план как есть; задачу 5 ученик решает сам, учитель слушает.
- **Трек C:** вместо задач 1 и 5 берём 3 и 4; в блоке 37–50 — задача 4 без подсказок; вопрос «Можно ли решить быстрее?» (правило креста для задачи 2).

## Домашнее задание

1. Домашняя карточка из 4 задач (задание 21), оформить полностью как на экзамене.
2. Интерактивный тест «Смеси» (10 вопросов), цель — не меньше 8.
3. Тренажёр «новые числа каждый раз»: 10 задач, записать, какие типы вызвали ошибки.

## Следующее занятие

Первые 5 минут: вопросы 8, 10, 12 из опроса. Затем проверка ДЗ по ключевым точкам. Через неделю зачётный лист: уровень 1 обязателен, уровни 2 и 3 по треку. Если за уровень 1 меньше 4 баллов, возвращаемся к правилам 1–3 и к пятиминутке.