# Системы уравнений (№20)

## Разбор в формате диалога «ученик — учитель»

**Участники:** Учитель и Ученик (9 класс, подготовка к ОГЭ, №20 часть 2).
**Как пользоваться:** сначала отвечай сам, потом сверяйся с диалогом. После каждой задачи есть похожая для самостоятельного решения (ответы в конце файла).
**Где мы в теме:** теория и устный опрос → тест → пятиминутка → этот разбор → тренажёры → зачётный лист → домашняя карточка.
**Задачи разбора:** 0. Подстановка из линейного уравнения. 1. Дробь и замена t = x/y. 2. Сложение: только x² и y². 3. Симметричная система (s и p). 4. Однородное уравнение. 5. Произведение равно нулю.

---

# Задача 0. Подстановка из линейного уравнения

**Условие.** Решите систему уравнений: (1) y = x − 2; (2) x² + y² = 20.

## Этап 1. Что мы видим

**Учитель:** Что мы видим?

**Ученик:** Систему из двух уравнений с двумя неизвестными. В первом уравнении y уже выражен через x, во втором стоят квадраты. Нужно найти все пары (x; y).

**Учитель:** Что в такой задаче легко упустить?

**Ученик:** Что решение это пара, а не одно число. И что пар может быть две.

## Этап 2. Как мы решаем подобное

**Учитель:** С чем из программы это похоже и что мы там делали?

**Ученик:** Это способ подстановки. Когда одно уравнение выражает переменную через другую, подставляем это выражение в другое уравнение.

**Учитель:** Верно. Формулировка из учебника: чтобы решить систему способом подстановки, выражают из какого-либо уравнения одну переменную через другую и подставляют в другое уравнение; получают уравнение с одной переменной.

## Этап 3. По какому алгоритму

**Учитель:** Назови шаги до того, как начнёшь считать.

**Ученик:** Выражаю одну переменную. Подставляю в другое уравнение. Решаю. Для каждого корня нахожу вторую переменную. Проверяю.

**Учитель:** Фиксируем:
1. Выразить одну переменную через другую (удобнее из линейного уравнения).
2. Подставить в другое уравнение.
3. Решить уравнение с одной переменной.
4. Для каждого корня найти вторую переменную.
5. Проверить и записать пары.

## Этап 4. Решаем по алгоритму

**Учитель:** Шаг 1. Что выражаем?

**Ученик:** Уже готово: y = x − 2.

**Учитель:** Шаг 2. Подставь во второе уравнение.

**Ученик:** x² + (x − 2)² = 20.

**Учитель:** Раскрой скобки. Откуда берётся каждое слагаемое?

**Ученик:** (x − 2)² это квадрат разности: x² − 2 · x · 2 + 4, то есть x² − 4x + 4. Получаю x² + x² − 4x + 4 = 20.

> **Если ученик ответит:** (x − 2)² = x² − 4.
> **Учитель:** Проверь на числах: при x = 5 чему равно (5 − 2)² и чему равно 5² − 4? Что пропущено в формуле квадрата разности?

**Учитель:** Приведи к стандартному виду.

**Ученик:** 2x² − 4x + 4 − 20 = 0, то есть 2x² − 4x − 16 = 0. Делю на 2: x² − 2x − 8 = 0.

**Учитель:** Шаг 3. Решай.

**Ученик:** D = (−2)² − 4 · 1 · (−8) = 4 + 32 = 36. x = (2 ± 6) / 2: x₁ = 4, x₂ = −2.

**Учитель:** Шаг 4. Как найдём y и откуда берём формулу?

**Ученик:** Из первого уравнения, y = x − 2. При x = 4 получаем y = 2. При x = −2 получаем y = −4.

## Этап 5. Проверка и ответ

**Учитель:** Как проверим?

**Ученик:** Подставлю пары в оба уравнения. (4; 2): 16 + 4 = 20 и 2 = 4 − 2. Верно. (−2; −4): 4 + 16 = 20 и −4 = −2 − 2. Верно.

**Учитель:** Как запишем ответ?

**Ученик:** Парами: (4; 2), (−2; −4).

## Этап 6. Перенос

**Учитель:** По каким признакам ты в следующий раз узнаешь такую задачу?

**Ученик:** В системе есть линейное уравнение или переменную легко выразить. Тогда подстановка.

**Для самостоятельного решения.** Решите систему: x − y = 4, x² + y² = 40.

---

# Задача 1. Дробь и замена t = x/y

**Условие.** Решите систему уравнений: (1) x/y + y/x = 5/2; (2) x² − y² = 3.

## Этап 1. Что мы видим

**Учитель:** Что мы видим?

**Ученик:** Систему с дробью в первом уравнении. Во втором уравнении разность квадратов. Надо найти все пары (x; y).

**Учитель:** Какие ограничения даёт условие?

**Ученик:** x и y стоят в знаменателях, значит x ≠ 0 и y ≠ 0. Это ОДЗ.

> **Если ученик ответит:** ОДЗ только x ≠ 0.
> **Учитель:** Где в первом уравнении ещё стоит деление и на что?

**Учитель:** Что заметишь в первом уравнении?

**Ученик:** Дроби x/y и y/x переворачивают друг друга. Если x/y = t, то y/x = 1/t.

## Этап 2. Как мы решаем подобное

**Учитель:** Как поступают, когда в уравнении есть взаимно обратные выражения?

**Ученик:** Вводят новую переменную t, получают уравнение t + 1/t = число и решают его, умножив на t.

**Учитель:** Уточним. Умножать на t можно, потому что t ≠ 0. Почему t не равно нулю?

**Ученик:** t = x/y, а x ≠ 0 по ОДЗ. Значит t ≠ 0.

## Этап 3. По какому алгоритму

**Учитель:** Назови шаги.

**Ученик:** Записать ОДЗ. Ввести t. Решить уравнение для t. Для каждого t выразить x через y, подставить во второе уравнение. Найти пары. Проверить по ОДЗ.

**Учитель:** Фиксируем:
1. Записать ОДЗ.
2. Ввести t = x/y и решить уравнение для t.
3. Для каждого t выразить x через y и подставить во второе уравнение.
4. Найти y, затем x.
5. Проверить ОДЗ и записать пары.

## Этап 4. Решаем по алгоритму

**Учитель:** Шаг 2. Запиши уравнение для t.

**Ученик:** t + 1/t = 5/2. Умножу на 2t: 2t² + 2 = 5t, то есть 2t² − 5t + 2 = 0.

**Учитель:** Откуда 2t² и откуда 2?

**Ученик:** Из t · 2t = 2t² и из (1/t) · 2t = 2. Правая часть: (5/2) · 2t = 5t.

**Учитель:** Решай.

**Ученик:** D = 25 − 16 = 9. t = (5 ± 3) / 4. Значит t = 2 или t = 1/2.

**Учитель:** Шаг 3. Первая ветка t = 2. Что это значит для x и y?

**Ученик:** x/y = 2, то есть x = 2y. Подставляю во второе уравнение: 4y² − y² = 3, 3y² = 3, y² = 1. Значит y = 1 или y = −1.

**Учитель:** Найди x.

**Ученик:** x = 2y. При y = 1 будет x = 2. При y = −1 будет x = −2. Пары (2; 1) и (−2; −1).

**Учитель:** Вторая ветка t = 1/2.

**Ученик:** x/y = 1/2, значит x = y/2. Подставляю: y²/4 − y² = 3, то есть −3y²/4 = 3, y² = −4. Квадрат не может быть отрицательным: решений нет.

> **Если ученик ответит:** y² = 4.
> **Учитель:** Проверь знак: −3y²/4 = 3. Что получится, если обе части разделить на −3/4? Может ли квадрат числа быть отрицательным?

## Этап 5. Проверка и ответ

**Учитель:** Проверка по ОДЗ и подстановкой.

**Ученик:** Ни x, ни y не равны нулю. (2; 1): 2/1 + 1/2 = 5/2 и 4 − 1 = 3. (−2; −1): (−2)/(−1) + (−1)/(−2) = 2 + 1/2 = 5/2 и 4 − 1 = 3. Верно.

**Учитель:** Ответ?

**Ученик:** (2; 1), (−2; −1).

## Этап 6. Перенос

**Учитель:** По каким признакам узнаешь такую задачу?

**Ученик:** В уравнении есть x/y и y/x одновременно. Тогда ОДЗ и замена t = x/y.

**Для самостоятельного решения.** Решите систему: x/y + y/x = 17/4, x² − y² = 15.

---

# Задача 2. Сложение: только x² и y²

**Условие.** Решите систему уравнений: (1) 2x² + 3y² = 30; (2) 3x² − y² = 23.

## Этап 1. Что мы видим

**Учитель:** Что мы видим?

**Ученик:** Систему, где в обоих уравнениях только x² и y². Нет x, y и xy. Нужны все пары.

**Учитель:** Что здесь опасно?

**Ученик:** Из x² = число получится два значения x, из y² два значения y. Легко потерять отрицательные.

## Этап 2. Как мы решаем подобное

**Учитель:** Какой способ подходит?

**Ученик:** Сложение. Уравнения умножаем так, чтобы коэффициенты при одной переменной стали противоположными, и складываем.

## Этап 3. По какому алгоритму

**Учитель:** Назови шаги до того, как начнёшь считать.

**Ученик:** Выбираю переменную, которую убираю. Умножаю. Складываю. Нахожу x², потом y². Извлекаю корни с плюсом и минусом. Составляю пары.

**Учитель:** Фиксируем:
1. Выбрать, какую переменную исключаем (здесь y²).
2. Умножить уравнения на числа и сложить.
3. Найти x², затем y².
4. Извлечь корни: каждый квадрат даёт два значения.
5. Составить все пары и проверить.

## Этап 4. Решаем по алгоритму

**Учитель:** Что убираем и на что умножаем?

**Ученик:** Убираю y². В первом уравнении +3y², во втором −y². Умножу второе на 3: 9x² − 3y² = 69. Число 69 это 23 · 3.

**Учитель:** Сложи с первым.

**Ученик:** 2x² + 9x² = 11x² и 3y² − 3y² = 0. Справа 30 + 69 = 99. Получаю 11x² = 99, x² = 9.

**Учитель:** Что получим для x?

**Ученик:** x = 3 или x = −3.

**Учитель:** Как найдём y² и откуда берём формулу?

**Ученик:** Из второго уравнения: y² = 3x² − 23. При x² = 9 получаем 27 − 23 = 4. Значит y = 2 или y = −2.

**Учитель:** Сколько пар получится?

**Ученик:** В системе только квадраты, знаки x и y независимы. Всего четыре пары.

> **Если ученик ответит:** (3; 2) — всё.
> **Учитель:** Подставь x = −3 и y = 2 в оба уравнения. Подходит? Почему?

## Этап 5. Проверка и ответ

**Учитель:** Проверь решение подстановкой.

**Ученик:** (3; 2): 18 + 12 = 30 и 27 − 4 = 23. Остальные дают те же квадраты, значит тоже подходят.

**Учитель:** Ответ?

**Ученик:** (3; 2), (3; −2), (−3; 2), (−3; −2).

## Этап 6. Перенос

**Учитель:** По каким признакам ты узнаешь такую задачу в следующий раз?

**Ученик:** Признак: в обоих уравнениях только квадраты переменных. Складываю, потом ставлю ±.

**Для самостоятельного решения.** Решите систему: 2x² + y² = 34, x² − y² = −7.

---

# Задача 3. Симметричная система (s и p)

**Условие.** Решите систему уравнений: (1) x² + y² + x + y = 12; (2) xy = 4.

## Этап 1. Что мы видим

**Учитель:** Что мы видим?

**Ученик:** В первом уравнении x и y стоят одинаково: поменяем их местами, уравнение не изменится. Во втором xy. Нужны все пары.

**Учитель:** Что тут может сбить?

**Ученик:** Желание подставлять y = 4/x. Получится уравнение четвёртой степени.

## Этап 2. Как мы решаем подобное

**Учитель:** Какое правило поможет?

**Ученик:** Если x + y = s и xy = p, то x и y — корни уравнения t² − st + p = 0. А x² + y² = (x + y)² − 2xy.

**Учитель:** Откуда вторая формула?

**Ученик:** Из квадрата суммы: (x + y)² = x² + 2xy + y². Переношу 2xy.

## Этап 3. По какому алгоритму

**Учитель:** Назови шаги до того, как начнёшь считать.

**Ученик:** Обозначаю s = x + y, p = xy. Записываю первое уравнение через s и p. Нахожу s. Для каждого s решаю t² − st + p = 0. Записываю пары.

**Учитель:** Фиксируем:
1. Ввести s = x + y, p = xy.
2. Выразить уравнение через s и p и найти s.
3. Для каждого s решить t² − st + p = 0.
4. Записать пары (с учётом порядка) и проверить.

## Этап 4. Решаем по алгоритму

**Учитель:** Чему равно p?

**Ученик:** Из второго уравнения p = 4.

**Учитель:** Запиши первое уравнение через s.

**Ученик:** x² + y² = s² − 2p = s² − 8. Тогда s² − 8 + s = 12, то есть s² + s − 20 = 0.

**Учитель:** Реши.

**Ученик:** D = 1 + 80 = 81. s = (−1 ± 9) / 2: s = 4 или s = −5.

**Учитель:** Что делаем при s = 4?

**Ученик:** t² − 4t + 4 = 0, это (t − 2)² = 0, t = 2. Значит x = y = 2. Пара (2; 2).

> **Если ученик ответит:** две пары (2; 2) и (2; 2).
> **Учитель:** Сколько различных корней у t² − 4t + 4 = 0? Сколько тогда различных пар?

**Учитель:** При s = −5.

**Ученик:** t² + 5t + 4 = 0, D = 25 − 16 = 9, t = (−5 ± 3) / 2: t = −1 и t = −4. Пары (−1; −4) и (−4; −1).

## Этап 5. Проверка и ответ

**Учитель:** Проверь решение подстановкой.

**Ученик:** (2; 2): 4 + 4 + 2 + 2 = 12 и 2 · 2 = 4. (−1; −4): 1 + 16 − 1 − 4 = 12 и (−1)(−4) = 4. По симметрии (−4; −1) тоже верна.

**Учитель:** Ответ?

**Ученик:** (2; 2), (−1; −4), (−4; −1).

## Этап 6. Перенос

**Учитель:** По каким признакам ты узнаешь такую задачу в следующий раз?

**Ученик:** Признак: x и y входят одинаково, есть xy или x + y. Ввожу s и p.

**Для самостоятельного решения.** Решите систему: x² + y² + x + y = 18, xy = 12.

---

# Задача 4. Однородное уравнение

**Условие.** Решите систему уравнений: (1) x² − 3xy + 2y² = 0; (2) x + y = 6.

## Этап 1. Что мы видим

**Учитель:** Что мы видим?

**Ученик:** Первое уравнение: все члены второй степени (x², xy, y²), справа ноль. Второе линейное. Нужны пары.

**Учитель:** Что здесь опасно?

**Ученик:** Подставить y = 6 − x в первое и получить громоздкое уравнение. Или делить на y² и потерять решение с y = 0.

## Этап 2. Как мы решаем подобное

**Учитель:** Какое правило подойдёт?

**Ученик:** Квадратный трёхчлен равен нулю — раскладываем на множители. Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю.

## Этап 3. По какому алгоритму

**Учитель:** Фиксируем:
1. Разложить левую часть первого уравнения на множители.
2. Записать две системы (каждый множитель равен нулю, вместе с линейным уравнением).
3. Решить каждую подстановкой.
4. Проверить и записать пары.

## Этап 4. Решаем по алгоритму

**Учитель:** Как разложить x² − 3xy + 2y²?

**Ученик:** Ищу два числа с суммой −3 и произведением 2 при y: это −1 и −2. Получаю (x − y)(x − 2y).

**Учитель:** Проверь раскрытием.

**Ученик:** x² − 2xy − xy + 2y² = x² − 3xy + 2y². Верно.

> **Если ученик ответит:** (x + y)(x + 2y).
> **Учитель:** Раскрой скобки. Какой знак получился у среднего члена и какой нужен?

**Учитель:** Первый случай.

**Ученик:** x − y = 0, то есть x = y. Подставляю в x + y = 6: 2y = 6, y = 3, x = 3. Пара (3; 3).

**Учитель:** Второй случай.

**Ученик:** x − 2y = 0, то есть x = 2y. Тогда 3y = 6, y = 2, x = 4. Пара (4; 2).

## Этап 5. Проверка и ответ

**Учитель:** Проверь решение подстановкой.

**Ученик:** (3; 3): 9 − 27 + 18 = 0 и 3 + 3 = 6. (4; 2): 16 − 24 + 8 = 0 и 4 + 2 = 6. Верно.

**Учитель:** Ответ?

**Ученик:** (3; 3), (4; 2).

## Этап 6. Перенос

**Учитель:** По каким признакам ты узнаешь такую задачу в следующий раз?

**Ученик:** Признак: уравнение, где все члены второй степени и справа ноль. Раскладываю на множители.

**Для самостоятельного решения.** Решите систему: x² − 5xy + 4y² = 0, x + y = 10.

---

# Задача 5. Произведение равно нулю

**Условие.** Решите систему уравнений: (1) (x − 2)(y + 1) = 0; (2) x² + y² = 5.

## Этап 1. Что мы видим

**Учитель:** Что мы видим?

**Ученик:** В первом уравнении произведение двух скобок равно нулю. Второе: сумма квадратов. Нужны пары.

**Учитель:** Что тут легко потерять?

**Ученик:** Одну из веток. И не заметить, что одна пара может получиться в обеих ветках.

## Этап 2. Как мы решаем подобное

**Учитель:** Что мы знаем о произведении, равном нулю?

**Ученик:** Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю. Значит, x − 2 = 0 или y + 1 = 0.

## Этап 3. По какому алгоритму

**Учитель:** Фиксируем:
1. Разбить на две системы.
2. Решить каждую.
3. Объединить решения; одинаковые пары записать один раз.
4. Проверить.

## Этап 4. Решаем по алгоритму

**Учитель:** Первая система.

**Ученик:** x = 2 и x² + y² = 5. Подставляю: 4 + y² = 5, y² = 1, y = 1 или y = −1. Пары (2; 1) и (2; −1).

**Учитель:** Вторая система.

**Ученик:** y = −1 и x² + y² = 5. Подставляю: x² + 1 = 5, x² = 4, x = 2 или x = −2. Пары (2; −1) и (−2; −1).

**Учитель:** Сколько всего различных решений?

**Ученик:** Пара (2; −1) встретилась в обеих системах. Различных три: (2; 1), (2; −1), (−2; −1).

> **Если ученик ответит:** четыре решения.
> **Учитель:** Выпиши пары из обеих систем подряд. Есть ли одинаковые?

## Этап 5. Проверка и ответ

**Учитель:** Проверь решение подстановкой.

**Ученик:** (2; 1): 0 · 2 = 0 и 4 + 1 = 5. (2; −1): 0 · 0 = 0 и 4 + 1 = 5. (−2; −1): (−4) · 0 = 0 и 4 + 1 = 5.

**Учитель:** Ответ?

**Ученик:** (2; 1), (2; −1), (−2; −1).

## Этап 6. Перенос

**Учитель:** По каким признакам ты узнаешь такую задачу в следующий раз?

**Ученик:** Признак: уравнение вида (…)(…) = 0. Делю на две системы и объединяю решения.

**Для самостоятельного решения.** Решите систему: (x − 3)(y + 2) = 0, x² + y² = 13.

---

# Ответы к задачам для самостоятельного решения

0. x − y = 4, x² + y² = 40: (6; 2), (−2; −6).
1. x/y + y/x = 17/4, x² − y² = 15: (4; 1), (−4; −1). Замена t = x/y даёт t = 4 или t = 1/4; ветка t = 1/4 решений не имеет.
2. 2x² + y² = 34, x² − y² = −7: (3; 4), (3; −4), (−3; 4), (−3; −4).
3. x² + y² + x + y = 18, xy = 12: (−3; −4), (−4; −3). Значение s = 6 даёт D < 0, решений нет.
4. x² − 5xy + 4y² = 0, x + y = 10: (5; 5), (8; 2).
5. (x − 3)(y + 2) = 0, x² + y² = 13: (3; 2), (3; −2), (−3; −2).