# Прогрессии (задание 14 ОГЭ)

**Разбор в формате диалога «ученик — учитель».** Участники: Учитель и Ученик (9 класс, подготовка к ОГЭ, часть 1, задание 14: арифметическая и геометрическая прогрессии). Основные задачи A–E и задачи для переноса.

**Как пользоваться:** сначала отвечай сам, потом сверяйся с диалогом. В конце каждой задачи есть задача для самостоятельного решения. Печать: 2 колонки, шрифт 9 pt, экономия бумаги.

**Где мы в теме:** теория и устный опрос → тест → пятиминутка → этот разбор → тренажёры → зачётный лист → домашняя карточка.

---

## Часть 1. Общий алгоритм (один раз для всех пяти задач)

**Учитель:** Открой любое задание 14. Что мы видим?

**Ученик:** Прогрессию: арифметическую или геометрическую. Даны первый член и разность или знаменатель, либо два члена, либо первые члены списком. Надо найти член, сумму или количество членов.

**Учитель:** Что в ответе?

**Ученик:** Одно число: целое или конечная десятичная дробь. В первой части проверяется только ответ, поэтому одна арифметическая ошибка стоит всего балла.

**Учитель:** Как отличить арифметическую прогрессию от геометрической?

**Ученик:** По тому, как получается следующий член. «На одно и то же число больше» значит, что прибавляем d: арифметическая. «В одно и то же число раз больше» значит, что умножаем на q: геометрическая. Рост на p% тоже геометрическая, там q = 1 + p/100.

**Учитель:** Откуда берётся формула n-го члена арифметической прогрессии?

**Ученик:** Пишу по шагам. a₂ = a₁ + d. a₃ = a₂ + d = a₁ + 2d. a₄ = a₁ + 3d. Каждый раз коэффициент при d на единицу меньше номера. Значит aₙ = a₁ + (n − 1)d. Это же объясняет, почему шагов n − 1: от первого члена до n-го ровно n − 1 переход.

**Учитель:** А как найти d, если даны два члена, например a₄ и a₉?

**Ученик:** Между ними 9 − 4 = 5 шагов, и на каждом прибавляется d. Значит a₉ − a₄ = 5d, откуда d = (a₉ − a₄) : 5. В общем виде d = (aₘ − aₖ) : (m − k).

**Учитель:** Откуда сумма первых n членов?

**Ученик:** Запишу сумму дважды: S = a₁ + a₂ + … + aₙ и ещё раз в обратном порядке S = aₙ + … + a₂ + a₁. Сложу столбиком: каждая пара равна a₁ + aₙ, потому что при шаге вправо один член растёт на d, а другой уменьшается на d. Пар n, поэтому 2S = (a₁ + aₙ)·n и S = (a₁ + aₙ)·n : 2. Деление на 2 появилось из-за того, что мы сложили два одинаковых набора.

**Учитель:** Теперь геометрическая. Откуда формула bₙ = b₁·qⁿ⁻¹?

**Ученик:** Так же по шагам. b₂ = b₁q, b₃ = b₂q = b₁q², b₄ = b₁q³. Степень на единицу меньше номера. Поэтому bₙ = b₁qⁿ⁻¹.

**Учитель:** А сумма?

**Ученик:** S = b₁ + b₁q + b₁q² + … + b₁qⁿ⁻¹. Умножу на q: qS = b₁q + b₁q² + … + b₁qⁿ. Вычту первое из второго: почти всё сократится, останется qS − S = b₁qⁿ − b₁. Значит S(q − 1) = b₁(qⁿ − 1) и S = b₁(qⁿ − 1) : (q − 1) при q ≠ 1.

**Учитель:** Зафиксируем алгоритм, он подходит к любому заданию 14:

1. Определи вид: арифметическая (прибавляем d) или геометрическая (умножаем на q).
2. Выпиши, что дано и что найти: a₁, d (или b₁, q), номера членов, число членов n.
3. Если не хватает a₁ и d: найди d по двум членам, d = (aₘ − aₖ) : (m − k), затем a₁ при необходимости.
4. Посчитай шаги: от k до m их m − k; от первого члена до n-го их n − 1.
5. Подставь в формулу n-го члена или суммы. Каждое действие отдельной строкой.
6. Проверь: выпиши первые 3–4 члена; сумму проверь второй формулой.
7. Перечитай вопрос: член, сумма или номер? Запиши в бланк №1 только число: запятая, минус и цифры по клеткам, без единиц и слов.

---

## Часть 2. Разбор задач A–E

### Задача A. Разность по двум членам и далёкий член

**Условие:** арифметическая прогрессия (aₙ) задана условиями: a₄ = 5, a₉ = −10. Найдите a₂₀.

**Учитель:** Что мы видим?

**Ученик:** Арифметическая прогрессия. Даны два члена с номерами 4 и 9, надо найти двадцатый. Первого члена нет.

**Учитель:** Он нужен?

**Ученик:** Не обязательно. Я могу идти от известного члена шагами по d. Сначала найду d.

**Учитель:** Откуда берётся d?

**Ученик:** От четвёртого до девятого члена 9 − 4 = 5 шагов. За них значение изменилось на a₉ − a₄ = −10 − 5 = −15. Значит d = −15 : 5 = −3.

**Учитель:** Теперь двадцатый член. Сколько шагов от девятого?

**Ученик:** 20 − 9 = 11. a₂₀ = a₉ + 11d = −10 + 11·(−3) = −10 − 33 = −43.

**Учитель:** Как проверить?

**Ученик:** Найду a₁ = a₄ − 3d = 5 + 9 = 14 и посчитаю a₂₀ = 14 + 19·(−3) = 14 − 57 = −43. Совпало.

**Учитель:** Какая здесь ловушка?

**Ученик:** Делить разность членов надо на разность номеров, 9 − 4 = 5, а не на девять и не на четыре. И от девятого члена до двадцатого шагов 11, не 10.

**Ответ: −43.**

**Для самостоятельного решения (A′):** a₅ = 7, a₁₁ = −5. Найдите a₂₀. Ответ: −23.

### Задача B. Сумма, когда первый член не дан

**Условие:** в арифметической прогрессии a₆ = 14, a₁₀ = 26. Найдите сумму первых 15 её членов.

**Учитель:** Что требуется найти и что для этого нужно?

**Ученик:** Сумму 15 членов. Формула S = (a₁ + a₁₅)·15 : 2 требует первого и пятнадцатого члена, а у меня они не даны. Значит надо найти d, потом a₁ и a₁₅.

**Учитель:** Действуй.

**Ученик:** d = (26 − 14) : (10 − 6) = 12 : 4 = 3. Первый член: от a₁ до a₆ пять шагов, поэтому a₁ = a₆ − 5d = 14 − 15 = −1. Пятнадцатый: a₁₅ = a₁ + 14d = −1 + 42 = 41.

**Учитель:** Сумма?

**Ученик:** S₁₅ = (−1 + 41)·15 : 2 = 40·15 : 2 = 300.

**Учитель:** Проверка?

**Ученик:** Формула члена aₙ = −1 + 3(n − 1) = 3n − 4. Проверяю a₆ = 18 − 4 = 14 и a₁₀ = 30 − 4 = 26, обе данные сходятся. Сумма 3·(1 + 2 + … + 15) − 4·15 = 3·120 − 60 = 300.

**Учитель:** Где можно потерять балл?

**Ученик:** От a₁ до a₆ пять шагов, а не шесть: ошибка даст a₁ = −4. И нельзя забыть деление на 2: без него получится 600.

**Ответ: 300.**

**Для самостоятельного решения (B′):** a₄ = 10, a₉ = 25. Найдите сумму первых 12 членов. Ответ: 210.

### Задача C. Сколько членов отрицательные

**Условие:** сколько отрицательных членов в арифметической прогрессии −8,6; −8,4; −8,2; …?

**Учитель:** Что мы видим?

**Ученик:** Прогрессия возрастает: каждый следующий член больше на 0,2. Она начинается с −8,6 и когда-то дойдёт до нуля. Мне нужно найти, сколько членов до этого момента.

**Учитель:** Как записать условие «член отрицательный»?

**Ученик:** aₙ < 0. Формула aₙ = −8,6 + 0,2(n − 1). Получаю неравенство −8,6 + 0,2(n − 1) < 0, то есть 0,2(n − 1) < 8,6, откуда n − 1 < 43 и n < 44.

**Учитель:** Какой номер последний?

**Ученик:** Наибольшее натуральное n, меньшее 44, это 43. Отрицательных членов 43.

**Учитель:** Проверь границу.

**Ученик:** a₄₃ = −8,6 + 0,2·42 = −8,6 + 8,4 = −0,2, это отрицательное число. a₄₄ = −8,6 + 0,2·43 = 0. Ноль не отрицательный, поэтому 44-й член не считается.

**Учитель:** Какая здесь главная ловушка?

**Ученик:** Ответ 44 из-за нуля. Неравенство строгое. Если бы спрашивали «сколько неположительных», ответ был бы 44.

**Ответ: 43.**

**Для самостоятельного решения (C′):** сколько положительных членов в арифметической прогрессии 12,5; 12,1; 11,7; …? Ответ: 32.

### Задача D. Геометрическая прогрессия, сумма первых членов

**Условие:** геометрическая прогрессия (bₙ) задана условиями: b₁ = −6, bₙ₊₁ = 2bₙ. Найдите сумму первых пяти её членов.

**Учитель:** Что мы видим?

**Ученик:** Рекуррентная запись: каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на 2. Значит знаменатель q = 2. Первый член отрицательный.

**Учитель:** Какая формула нужна?

**Ученик:** Сумма: S₅ = b₁(q⁵ − 1) : (q − 1). Подставляю: q⁵ = 32, q⁵ − 1 = 31, q − 1 = 1. S₅ = −6·31 : 1 = −186.

**Учитель:** Проверь без формулы.

**Ученик:** Выпишу члены: −6; −12; −24; −48; −96. Сумма −6 − 12 − 24 − 48 − 96 = −186. Совпало.

**Учитель:** Что здесь легко перепутать?

**Ученик:** Знак: первый член отрицательный, поэтому ответ отрицательный. И q⁵ означает пять множителей по 2, это 32, а не 5·2 = 10.

**Ответ: −186.**

**Для самостоятельного решения (D′):** b₁ = 5, bₙ₊₁ = −2bₙ. Найдите сумму первых четырёх членов. Ответ: −25.

### Задача E. Практическая задача: места в зале

**Условие:** в зрительном зале 18 рядов: в первом ряду 14 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в зале?

**Учитель:** Какая здесь прогрессия?

**Ученик:** «На 2 места больше, чем в предыдущем» значит прибавляем одно и то же число: арифметическая, a₁ = 14, d = 2. Число рядов n = 18. Всего мест в зале сумма первых 18 членов.

**Учитель:** Что считаем сначала?

**Ученик:** Последний ряд: a₁₈ = 14 + 17·2 = 48. До восемнадцатого ряда 17 прибавлений.

**Учитель:** Сумма?

**Ученик:** S₁₈ = (14 + 48)·18 : 2 = 62·9 = 558.

**Учитель:** Проверь второй формулой.

**Ученик:** S₁₈ = (2·14 + 17·2)·18 : 2 = 62·9 = 558. Совпало.

**Учитель:** Какие ловушки?

**Ученик:** Шагов 17, а не 18. И вопрос «сколько всего мест»: ответ не 48 (число мест в последнем ряду), а сумма по всем рядам.

**Ответ: 558.**

**Для самостоятельного решения (E′):** в зале 20 рядов: в первом 10 мест, в каждом следующем на 3 больше. Сколько мест в зале? Ответ: 770.

---

## План урока (индивидуальный, 60 минут)

1. **0–5 мин. Вход и устный опрос.** 5 вопросов из теории (рекомендую вопросы про формулу n-го члена и шаги n − 1, про сумму арифметической прогрессии, про отличие арифметической от геометрической). Ошибки записать: они определят акценты урока.
2. **5–15 мин. Теория.** Диалог «Часть 1»: ученик сам объясняет, откуда берутся формула n-го члена, сумма (пары) и сумма геометрической прогрессии. Учитель фиксирует алгоритм, памятка остаётся перед глазами.
3. **15–25 мин. Разбор в диалоге.** Задача A: учитель только задаёт вопросы, ученик вслух объясняет «откуда это берётся».
4. **25–40 мин. Самостоятельная работа.** Задачи B и C. Ученик записывает каждое действие, учитель молчит и фиксирует ошибки. Затем сверка с разбором и ловушками.
5. **40–50 мин. Пятиминутка.** Вариант А (5–7 минут), проверка по ответам. Четыре и более баллов из пяти: тренажёр с новыми числами; меньше: повторить ловушки, где были ошибки.
6. **50–57 мин. Работа над ошибками и бланк.** Каждая ошибка: какое правило нарушено, переписать верно, решить аналогичное. Потренироваться записывать ответ в бланк №1 (минус и запятая занимают клетки, без слов).
7. **57–60 мин. Итог и ДЗ.** Ученик называет три ловушки и два признака, по которым определяет вид прогрессии. Выдать домашнюю карточку. Самооценка от 1 до 5: «могу объяснить это другому».

Резерв: если урок идёт быстрее, разобрать D (геометрическая) или E (практическая). Если медленнее, пятиминутку перенести на домашнюю работу.

---

## План домашней работы

1. **День 1.** Домашняя карточка: 4 задачи, 20–25 минут. Записывать каждое действие, ответ вносить в бланк по правилам памятки.
2. **Дни 2–3.** Тренажёр с новыми числами: по 5 заданий в день, брать типы, где были ошибки на уроке.
3. **Перед следующим уроком.** 3 вопроса устного опроса, ученик отвечает первым делом (5 минут).
4. **Следующий урок.** Проверка карточки по ключевым точкам из её конца (10 минут), затем зачётный лист (уровни 1 и 2) на оценку; уровень 3 по желанию.
5. **Через неделю.** Три задачи на прогрессии вперемешку с другой темой (проценты, уравнения, степени), чтобы проверить, что навык удержался.