# Проценты (задание 21)

## Разбор в формате диалога «ученик — учитель»

**Участники:** Учитель и Ученик (9 класс, подготовка к ОГЭ, часть 2, задание 21).
**Как пользоваться:** сначала отвечай сам, потом сверяйся с диалогом. После каждой задачи — похожая для самостоятельного решения (ответ в конце файла).
**Где мы в теме:** теория и устный опрос → тест → пятиминутка → этот разбор → тренажёры → зачётный лист → домашняя карточка.
**Задачи разбора:** 1. Два одинаковых снижения. 2. Вверх на x%, вниз на x%. 3. Смесь, два условия. 4. Сплавы. 5. Сушка.

---

# Задача 1. Два одинаковых снижения

**Условие.** Цену на товар два раза подряд снижали на одно и то же число процентов. Сначала товар стоил 5000 рублей, после двух снижений стал стоить 4050 рублей. На сколько процентов снижали цену каждый раз?

## Этап 1. Что мы видим

**Учитель:** Прочитай условие. Что мы видим?

**Ученик:** Задача на проценты, задание 21. Было 5000 рублей, стало 4050. Цену снижали два раза на одно и то же число процентов. Надо найти, на сколько процентов.

**Учитель:** Что здесь легко понять неверно?

**Ученик:** Что снижение одно, на двойное число процентов. А их два.

**Учитель:** Хорошо. А от какой цены считают второе снижение?

**Ученик:** От той, которая получилась после первого. Не от 5000.

## Этап 2. Как мы решаем подобное

**Учитель:** Как изменить число на p процентов? Сформулируй правило.

**Ученик:** Чтобы уменьшить число на p процентов, надо найти p процентов от него и вычесть. Или сразу умножить на 1 − p/100.

**Учитель:** Верно, второй способ короче. Как называют такой множитель?

**Ученик:** Коэффициент. Для снижения на 15 процентов он равен 0,85.

## Этап 3. Алгоритм

**Учитель:** Какие шаги ты сделаешь до всякого счёта?

**Ученик:** Обозначу процент за x. Запишу цену после каждого снижения. Составлю уравнение. Решу. Выберу подходящий корень и проверю.

**Учитель:** Фиксируем. Так решают любую задачу, где неизвестен процент изменения:

1. Обозначить неизвестное x с ограничением.
2. Каждое изменение записать коэффициентом.
3. Составить уравнение: начальное значение · коэффициенты = конечное.
4. Решить уравнение.
5. Отобрать корень по смыслу, проверить подстановкой.
6. Записать ответ на вопрос задачи.

## Этап 4. Решаем по алгоритму

**Учитель:** Что обозначим за x и какие ограничения запишем?

**Ученик:** Пусть x процентов — на сколько снижали цену каждый раз. Он больше 0 и меньше 100.

**Учитель:** Почему меньше 100?

**Ученик:** Если снизить на 100 процентов, цена станет нулём, а потом снижать нечего.

**Учитель:** Чему равна цена после первого снижения?

**Ученик:** 5000 · (1 − x/100).

**Учитель:** А после второго?

**Ученик:** Эту цену снова умножаем на (1 − x/100). Получается 5000 · (1 − x/100)².

> **Если ученик ответит:** 5000 · (1 − 2x/100).
> **Учитель:** Возьми x = 10 и посчитай два способа: сначала по твоей формуле, потом снизив 5000 на 10 процентов, а получившуюся цену ещё раз на 10 процентов. Совпало?
> **Ученик:** По формуле 4000, вторым способом 4500 · 0,9 = 4050. Не совпало.
> **Учитель:** Какое снижение ты не учёл?
> **Ученик:** Что второй раз процент берут от меньшей цены, а не от 5000.

**Учитель:** Составь уравнение.

**Ученик:** 5000 · (1 − x/100)² = 4050.

**Учитель:** Как упростить?

**Ученик:** Разделить на 5000. Получится (1 − x/100)² = 0,81.

**Учитель:** Откуда взялось 0,81?

**Ученик:** 4050 : 5000 = 0,81.

**Учитель:** Какое число в квадрате даёт 0,81?

**Ученик:** 0,9 и минус 0,9.

**Учитель:** Запиши оба случая до конца.

**Ученик:** 1 − x/100 = 0,9, тогда x/100 = 0,1, x = 10. И 1 − x/100 = −0,9, тогда x/100 = 1,9, x = 190.

**Учитель:** Какой корень подходит?

**Ученик:** 10. Корень 190 больше 100, он не подходит по ограничению.

## Этап 5. Проверка и ответ

**Учитель:** Как проверим?

**Ученик:** Снизим 5000 на 10 процентов: 4500. Ещё на 10 процентов: 4050. Совпало с условием.

**Учитель:** Как записать ответ?

**Ученик:** «Ответ: 10%». В решении задания 21 единицы пишут.

## Этап 6. Перенос

**Учитель:** По каким признакам ты узнаешь такую задачу в следующий раз?

**Ученик:** По словам «два раза подряд», «на одно и то же число процентов» и по тому, что известны начальная и конечная цена.

**Учитель:** Реши сам: цену снижали два раза подряд на одно и то же число процентов, было 2000 рублей, стало 1280 рублей. На сколько процентов снижали цену каждый раз?

---

# Задача 2. Вверх на x%, вниз на x%

**Условие.** Цену товара повысили на x%, а затем снизили на x%. В результате товар стал дешевле первоначальной цены на 4%. Найдите x.

## Этап 1. Что мы видим

**Учитель:** Что мы видим?

**Ученик:** Проценты, задание 21. Цену сначала повысили на x процентов, потом снизили на столько же. В итоге она на 4 процента меньше начальной. Надо найти x.

**Учитель:** Чего в условии нет, и мешает ли это?

**Ученик:** Нет самой цены. Наверное, обозначу её буквой a, и она сократится.

**Учитель:** А что в формулировке «на 4% дешевле» опасно?

**Ученик:** Можно принять 4 процента за итоговую цену. А итоговая цена — это не 4 процента, а на 4 процента меньше.

## Этап 2. Как мы решаем подобное

**Учитель:** Что мы знаем про несколько изменений подряд?

**Ученик:** Проценты не складывают. Коэффициенты перемножают, потому что каждый следующий процент берётся от нового значения.

**Учитель:** Какие здесь коэффициенты?

**Ученик:** Повышение на x процентов — 1 + x/100. Снижение — 1 − x/100.

## Этап 3. Алгоритм

**Учитель:** Какой алгоритм берём?

**Ученик:** Тот же, что в первой задаче: x с ограничением, коэффициенты, уравнение, решение, отбор корня, проверка, ответ.

## Этап 4. Решаем по алгоритму

**Учитель:** Пусть a — первоначальная цена. Чему равна цена после обоих изменений?

**Ученик:** a · (1 + x/100) · (1 − x/100).

**Учитель:** Какую долю от a составляет итоговая цена?

**Ученик:** 0,04, потому что на 4 процента меньше.

> **Если ученик ответит:** 0,04.
> **Учитель:** Допустим, a = 100 рублей. Цена стала на 4 процента ниже. Сколько рублей она стоит?
> **Ученик:** 96.
> **Учитель:** Какая доля от 100 это?
> **Ученик:** 0,96.

**Учитель:** Составь уравнение.

**Ученик:** (1 + x/100)(1 − x/100) = 0,96. Буква a сократилась.

**Учитель:** Какую формулу сокращённого умножения ты видишь в левой части?

**Ученик:** Разность квадратов. Получается 1 − (x/100)².

**Учитель:** Продолжай.

**Ученик:** 1 − x²/10 000 = 0,96. Значит x²/10 000 = 0,04, x² = 400, x = 20 или x = −20.

**Учитель:** Какой корень берём?

**Ученик:** 20, потому что процент здесь положительный.

## Этап 5. Проверка и ответ

**Учитель:** Проверим.

**Ученик:** 1,2 · 0,8 = 0,96, то есть цена составляет 96 процентов, она на 4 процента ниже. Ответ: 20%.

## Этап 6. Перенос

**Учитель:** Почему при «вверх на x, вниз на x» цена никогда не возвращается к начальной?

**Ученик:** Потому что получается 1 − (x/100)², это меньше единицы.

**Учитель:** Реши сам: цену повысили на x процентов, потом снизили на x процентов, и она стала на 1% ниже первоначальной. Найдите x.

---

# Задача 3. Смесь, два условия

**Условие.** Смешали 30%-ный и 60%-ный растворы кислоты и добавили 10 кг чистой воды, получили 36%-ный раствор кислоты. Если бы вместо воды добавили 10 кг 50%-ного раствора той же кислоты, то получили бы 41%-ный раствор. Сколько килограммов 30%-ного раствора использовали?

## Этап 1. Что мы видим

**Учитель:** Что мы видим?

**Ученик:** Задача на смеси, задание 21. Есть два раствора, 30 и 60 процентов. Два случая: с водой получается 36 процентов, с 50-процентным раствором — 41. Надо найти массу 30-процентного раствора.

**Учитель:** Сколько неизвестных и сколько условий?

**Ученик:** Неизвестных две: массы двух растворов. Условий тоже два. Значит, нужна система.

**Учитель:** Что здесь ловушка?

**Ученик:** Вода входит в массу смеси, а кислоты в ней нет. И ответ надо дать про 30-процентный раствор, а не про 60-процентный.

## Этап 2. Как мы решаем подобное

**Учитель:** Как найти массу вещества в растворе?

**Ученик:** Массу раствора умножить на концентрацию. Концентрация — это масса вещества, делённая на массу раствора.

**Учитель:** Можно ли при смешивании складывать концентрации?

**Ученик:** Нет. Складывают массы вещества и массы растворов.

## Этап 3. Алгоритм

**Учитель:** Какой алгоритм для смесей и сплавов?

**Ученик:** Обозначить массы. Записать для каждого раствора массу вещества. Составить уравнение по веществу. Если условий два, составить систему. Решить, проверить, ответить.

**Учитель:** Фиксируем:

1. Обозначить массы x, y (больше 0).
2. Для каждой смеси: масса раствора · доля = масса вещества.
3. Уравнение по веществу: вещество частей = вещество смеси.
4. Два условия — система, решаем подстановкой.
5. Проверить по условию.
6. Ответить на вопрос задачи.

## Этап 4. Решаем по алгоритму

**Учитель:** Что обозначим?

**Ученик:** Пусть x кг — 30%-ного раствора, y кг — 60%-ного.

**Учитель:** Сколько килограммов кислоты в первой смеси, где добавили воду?

**Ученик:** 0,3x + 0,6y. Вода кислоты не даёт.

**Учитель:** А чему равна масса всей первой смеси?

**Ученик:** x + y + 10.

> **Если ученик ответит:** x + y.
> **Учитель:** Из чего состоит смесь в первом случае?
> **Ученик:** Из двух растворов и воды. Значит, ещё 10 кг.

**Учитель:** Составь первое уравнение.

**Ученик:** 0,3x + 0,6y = 0,36(x + y + 10).

**Учитель:** Упрости.

**Ученик:** 0,3x + 0,6y = 0,36x + 0,36y + 3,6. Переношу: 0,24y − 0,06x = 3,6. Делю на 0,06: 4y − x = 60.

**Учитель:** Второй случай. Сколько кислоты в добавленных 10 кг 50%-ного раствора?

**Ученик:** 5 кг.

**Учитель:** Составь второе уравнение.

**Ученик:** 0,3x + 0,6y + 5 = 0,41(x + y + 10).

**Учитель:** Упрости.

**Ученик:** 0,3x + 0,6y + 5 = 0,41x + 0,41y + 4,1. Переношу: 0,19y − 0,11x = −0,9. Умножаю на 100: 19y − 11x = −90.

**Учитель:** Как решим систему из 4y − x = 60 и 19y − 11x = −90?

**Ученик:** Из первого x = 4y − 60. Подставлю: 19y − 11(4y − 60) = −90. Получается 19y − 44y + 660 = −90, значит −25y = −750 и y = 30.

**Учитель:** А что спрашивали в задаче?

**Ученик:** Массу 30-процентного раствора. x = 4 · 30 − 60 = 60.

## Этап 5. Проверка и ответ

**Учитель:** Как проверим?

**Ученик:** Первый случай: 60 + 30 + 10 = 100 кг смеси, кислоты 18 + 18 = 36 кг, это 36 процентов. Второй случай: кислоты 18 + 18 + 5 = 41 кг из 100 кг, это 41 процент. Верно. Ответ: 60 кг.

## Этап 6. Перенос

**Учитель:** По каким признакам ты узнаешь систему в задаче на смеси?

**Ученик:** Если известны две неизвестные массы и есть два условия, про которые можно написать уравнения.

**Учитель:** Реши сам: смешали 20%-ный и 60%-ный растворы кислоты и получили 8 кг 35%-ного раствора. Сколько килограммов 20%-ного раствора взяли?

---

# Задача 4. Сплавы

**Условие.** Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди. Масса второго сплава на 3 кг больше массы первого. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

## Этап 1. Что мы видим

**Учитель:** Что мы видим?

**Ученик:** Сплавы, задание 21. Два сплава с медью 10 и 40 процентов, второй тяжелее первого на 3 кг. Из них сделали третий, в нём 30 процентов меди. Надо найти массу третьего.

**Учитель:** Что может сбить?

**Ученик:** Спрашивают массу третьего сплава, а не первого. И проценты надо переводить в десятичные дроби.

## Этап 2. Как мы решаем подобное

**Учитель:** Что остаётся неизменным, когда сплавляют два сплава?

**Ученик:** Масса меди. Вся медь первого и второго сплава попадает в третий. И массы тоже складываются.

**Учитель:** Запиши это как равенство словами.

**Ученик:** Медь первого сплава плюс медь второго равна меди третьего.

## Этап 3. Алгоритм

**Учитель:** Какой алгоритм?

**Ученик:** Тот же, что для смесей: массы через x, таблица «масса · доля = масса вещества», уравнение по веществу, решение, проверка, ответ на вопрос.

## Этап 4. Решаем по алгоритму

**Учитель:** Что обозначаем и как выражаем остальные массы?

**Ученик:** x кг — масса первого сплава. Второй — x + 3. Третий — сумма: 2x + 3.

**Учитель:** Сколько меди в каждом сплаве?

**Ученик:** В первом 0,1x, во втором 0,4(x + 3), в третьем 0,3(2x + 3).

> **Если ученик ответит:** в третьем 0,3x.
> **Учитель:** Какая масса у третьего сплава?
> **Ученик:** 2x + 3, а не x. Значит, 0,3(2x + 3).

**Учитель:** Составь уравнение.

**Ученик:** 0,1x + 0,4(x + 3) = 0,3(2x + 3).

**Учитель:** Раскрой скобки.

**Ученик:** 0,1x + 0,4x + 1,2 = 0,6x + 0,9. Слева 0,5x + 1,2. Переношу: 0,3 = 0,1x, значит x = 3.

**Учитель:** Это ответ?

**Ученик:** Нет. x — масса первого сплава. Третий весит 2 · 3 + 3 = 9 кг.

## Этап 5. Проверка и ответ

**Учитель:** Проверим по меди.

**Ученик:** Первый сплав 3 кг, меди 0,3 кг. Второй 6 кг, меди 2,4 кг. Вместе 2,7 кг. В третьем 9 кг, 30 процентов — 2,7 кг. Совпало. Ответ: 9 кг.

## Этап 6. Перенос

**Учитель:** Как ты узнаешь такую задачу?

**Ученик:** Есть «сплав», проценты вещества, массы связаны разницей, из двух получают третий. Уравнение по массе вещества.

**Учитель:** Реши сам: первый сплав содержит 20% олова, второй — 60% олова. Масса второго на 2 кг больше массы первого. Из них получили третий сплав с 45% олова. Найдите массу третьего сплава.

---

# Задача 5. Сушка

**Условие.** Свежие яблоки содержат 80% воды, а сушёные — 20% воды. Сколько килограммов воды испарится при сушке 50 кг свежих яблок?

## Этап 1. Что мы видим

**Учитель:** Что мы видим?

**Ученик:** Проценты, задание 21. В свежих яблоках 80 процентов воды, в сушёных 20. Берём 50 кг свежих. Надо узнать, сколько воды испарилось.

**Учитель:** Что сбивает в этом условии?

**Ученик:** Проценты воды разные, а база разная: масса меняется. И спрашивают, сколько испарилось, а не сколько осталось.

## Этап 2. Как мы решаем подобное

**Учитель:** Что остаётся неизменным при сушке?

**Ученик:** Сухое вещество. Испаряется только вода.

**Учитель:** Как найти долю сухого вещества, если известна доля воды?

**Ученик:** Из 100 процентов вычесть долю воды.

## Этап 3. Алгоритм

**Учитель:** Какой алгоритм?

**Ученик:** Найти массу сухого вещества до сушки. Выразить массу после сушки через сухое вещество. Найти, сколько воды ушло. Проверить, ответить.

## Этап 4. Решаем по алгоритму

**Учитель:** Сколько сухого вещества в 50 кг свежих яблок?

**Ученик:** Воды 80 процентов, сухого 20. 0,2 · 50 = 10 кг.

> **Если ученик ответит:** 0,8 · 50 = 40 кг.
> **Учитель:** Что ты нашёл, 80 процентов от 50?
> **Ученик:** Воду. А мне нужно сухое вещество.

**Учитель:** Какую долю составляет сухое вещество в сушёных яблоках?

**Ученик:** 100 − 20 = 80 процентов.

**Учитель:** Пусть m кг — масса сушёных яблок. Составь уравнение.

**Ученик:** 0,8m = 10, потому что сухого вещества после сушки столько же, сколько было.

**Учитель:** Найди m.

**Ученик:** m = 10 : 0,8 = 12,5 кг.

**Учитель:** Что ответим на вопрос задачи?

**Ученик:** Испарилось 50 − 12,5 = 37,5 кг воды.

## Этап 5. Проверка и ответ

**Учитель:** Проверим по воде.

**Ученик:** В свежих воды 40 кг. В сушёных 20 процентов от 12,5 — это 2,5 кг. Испарилось 40 − 2,5 = 37,5 кг. Совпало. Ответ: 37,5 кг.

## Этап 6. Перенос

**Учитель:** Как узнаешь такую задачу?

**Ученик:** Слова «свежие» и «сушёные», воды разный процент, масса меняется. Сухое вещество постоянно.

**Учитель:** Реши сам: свежая трава содержит 75% воды, а сено — 15% воды. Сколько килограммов сена получится из 340 кг свежей травы?

---

## Универсальный алгоритм для задания 21 (проценты)

1. Определи тип: цена и вклад (коэффициенты), смесь и сплав (масса вещества), сушка (сухое вещество).
2. Обозначь неизвестное с единицами и ограничением.
3. Переведи проценты в десятичные дроби.
4. Составь уравнение или систему: изменения перемножай, вещество складывай.
5. Реши, отбери корень, проверь подстановкой.
6. Запиши ответ на тот вопрос, который задан.

## Ответы к задачам для самостоятельного решения

1. 20%. (2000 · (1 − x/100)² = 1280; (1 − x/100)² = 0,64; x = 20.)
2. 10. (1 − x²/10 000 = 0,99; x² = 100.)
3. 5 кг. (0,2x + 0,6(8 − x) = 0,35 · 8; 4,8 − 0,4x = 2,8; x = 5.)
4. 8 кг. (0,2x + 0,6(x + 2) = 0,45(2x + 2); 0,8x + 1,2 = 0,9x + 0,9; x = 3, третий 2 · 3 + 2 = 8.)
5. 100 кг. (Сухого в траве 0,25 · 340 = 85 кг; в сене его 85%: 85 : 0,85 = 100.)