# Обыкновенные дроби и смешанные числа (задание 6 ОГЭ) **Разбор в формате диалога «ученик — учитель».** Участники: Учитель и Ученик (9 класс, подготовка к ОГЭ, часть 1, задание 6, средний уровень). **Как пользоваться:** сначала отвечай сам, потом сверяйся с диалогом. В конце каждой задачи — задача для самостоятельного решения. Печать: 2 колонки, шрифт 9 pt, экономия бумаги. **Где мы в теме:** теория и устный опрос → тест → пятиминутка → этот разбор → тренажёры → зачётный лист → домашняя карточка. --- ## Часть 1. Общий алгоритм (этапы 1–3, один раз для всех пяти задач) **Учитель:** Открой любое задание 6. Что мы видим? **Ученик:** Числовое выражение с обыкновенными дробями и смешанными числами, иногда ещё с десятичными. Надо найти его значение. **Учитель:** Что дано и что нужно найти? **Ученик:** Дано выражение. Нужно найти одно число. Единиц измерения нет. **Учитель:** Какие ловушки бывают в таких заданиях? **Ученик:** Общий знаменатель, смешанные числа, какую дробь переворачивать при делении, знаки и порядок действий. **Учитель:** Как формулируется правило сложения дробей с разными знаменателями? **Ученик:** Приводим к общему знаменателю и складываем числители. **Учитель:** Точнее по учебнику: чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, надо привести их к наименьшему общему знаменателю, а затем выполнить действие. Откуда берётся общий знаменатель? **Ученик:** Разлагаю знаменатели на простые множители и беру каждый множитель в наибольшей степени. Для 6 = 2 · 3 и 8 = 2 · 2 · 2 получается 2 · 2 · 2 · 3 = 24. **Учитель:** А умножение и деление? **Ученик:** Умножение: числитель на числитель, знаменатель на знаменатель. Деление: умножаем на дробь, обратную делителю. **Учитель:** Почему при делении можно перевернуть вторую дробь? **Ученик:** Потому что деление на число — это умножение на число, обратное ему. Например, 3/4 · 4/3 = 1, поэтому делить на 3/4 то же, что умножать на 4/3. **Учитель:** Зафиксируем алгоритм, он подходит к любому заданию 6: 1. Разметь выражение: скобки, дробная черта, минусы, смешанные числа, десятичные дроби. 2. Выбери форму чисел: для умножения и деления — неправильные дроби; если есть десятичные — всё в одну форму (1/4 = 0,25; 1/2 = 0,5; 1/8 = 0,125). 3. Расставь порядок действий; ищи общий множитель и сокращения. 4. Считай по одному действию: сложение — общий знаменатель, умножение — с сокращением, деление — умножение на обратную. 5. Проверь: обратным действием, прикидкой, знаком; дробь сокращена? 6. Запиши в бланк №1 только число: десятичная запятая, без единиц; дробь переведи в десятичную. --- ## Задача A. Порядок действий: скобки, затем деление и умножение слева направо; обыкновенные и десятичные дроби вместе **Найдите значение выражения** 2 1/4 : (1 1/2 − 0,75) · 0,4 ### Этап 1. Что мы видим **Учитель:** Что мы видим в этом выражении? **Ученик:** Скобки, деление и умножение. Числа разные: смешанное 2 1/4, 1 1/2 и десятичные 0,75 и 0,4. **Учитель:** Как быть с разными видами дробей? **Ученик:** Привести к одной форме. Здесь удобно в десятичные: 1 1/2 = 1,5 и 2 1/4 = 2,25. **Учитель:** Откуда берётся 2,25? **Ученик:** Целая часть 2 остаётся, а 1/4 = 25/100 = 0,25. Получается 2,25. ### Этап 4. Решаем по алгоритму **Учитель:** Что делаем первым? **Ученик:** Скобки. 1,5 − 0,75 = 0,75. **Учитель:** Теперь выражение 2,25 : 0,75 · 0,4. Какое действие следующее? > **Если ученик ответит:** Сначала умножение: 0,75 · 0,4 = 0,3, потом 2,25 : 0,3 = 7,5. > **Учитель:** Прочитай выражение вслух по порядку: «2,25 разделить на 0,75 и результат…» Что делаем с результатом деления? **Ученик:** Умножаем результат деления на 0,4. Значит, сначала деление. **Учитель:** Выполни деление и объясни, что делаешь с запятыми. **Ученик:** 2,25 : 0,75. В делителе два знака после запятой, поэтому переношу запятые на два знака вправо: 225 : 75 = 3. **Учитель:** Почему так можно? **Ученик:** Умножаем делимое и делитель на 100, частное не меняется. **Учитель:** Последнее действие. **Ученик:** 3 · 0,4 = 1,2. ### Этап 5. Проверка и ответ **Учитель:** Как проверить результат? **Ученик:** Обратными действиями. 1,2 : 0,4 = 3, а 3 · 0,75 = 2,25. Это 2 1/4, значит верно. **Учитель:** Как запишешь ответ в бланк? **Ученик:** 1,2. ### Этап 6. Перенос **Учитель:** По каким признакам узнаёшь такое задание? **Ученик:** В выражении вместе стоят и обыкновенные, и десятичные дроби. Значит, сначала приводим всё к одной форме, потом идём по порядку действий. **Учитель:** Реши самостоятельно: 3 1/3 : (1 1/6 − 0,5) · 0,3. --- ## Задача B. Смешанные числа с разными знаменателями **Найдите значение выражения** 3 5/6 − 1 3/8 + 2 1/24 ### Этап 1. Что мы видим **Учитель:** Что мы видим? **Ученик:** Три смешанных числа, знаменатели 6, 8 и 24 разные. Действия: вычитание и сложение слева направо. **Учитель:** Какое правило применяем? **Ученик:** Дроби с разными знаменателями приводим к наименьшему общему знаменателю. ### Этап 4. Решаем по алгоритму **Учитель:** Найди наименьший общий знаменатель. **Ученик:** 6 = 2 · 3, 8 = 2 · 2 · 2, 24 = 2 · 2 · 2 · 3. Наибольшие степени: три двойки и тройка, это 24. **Учитель:** Приведи 5/6 и 3/8 к знаменателю 24. **Ученик:** 24 : 6 = 4, поэтому 5/6 = 20/24. 24 : 8 = 3, поэтому 3/8 = 9/24. **Учитель:** Выполни первое действие. **Ученик:** 3 20/24 − 1 9/24. Целые части: 3 − 1 = 2. Дробные: 20/24 − 9/24 = 11/24. Получилось 2 11/24. **Учитель:** Нужно ли было занимать единицу? **Ученик:** Нет, потому что 20/24 больше, чем 9/24. **Учитель:** Второе действие. **Ученик:** 2 11/24 + 2 1/24. Целые: 2 + 2 = 4. Дробные: 11/24 + 1/24 = 12/24. Сокращаю на 12: 1/2. Получилось 4 1/2. > **Если ученик ответит:** 4 12/24. > **Учитель:** Можно ли так оставить? Посмотри на дробь 12/24: есть ли у числителя и знаменателя общий делитель? **Учитель:** Как перейти к ответу для бланка? **Ученик:** 1/2 = 0,5, значит 4 1/2 = 4,5. ### Этап 5. Проверка и ответ **Учитель:** Как проверить, что в вычитании мы не ошиблись? **Ученик:** Перевести всё в 24-е доли целиком: 3 5/6 = 92/24, 1 3/8 = 33/24, 2 1/24 = 49/24. Тогда 92 − 33 + 49 = 108, и 108/24 = 4,5. Совпало. **Учитель:** Как запишешь ответ? **Ученик:** 4,5. Смешанное число 4 1/2 в бланк не вписывают. ### Этап 6. Перенос **Учитель:** По каким признакам узнаёшь такое задание? **Ученик:** Несколько смешанных чисел с разными знаменателями. Ищу наименьший общий знаменатель и считаю целые и дробные части отдельно. **Учитель:** Реши самостоятельно: 5 1/4 − 2 5/6 + 1 7/12. --- ## Задача C. Отрицательные числа: знаки в произведении, частном и «минус перед отрицательным» **Найдите значение выражения** −2/3 · (−4,5) − 1 1/2 : (−3/4) ### Этап 1. Что мы видим **Учитель:** Что мы видим? **Ученик:** Умножение и деление отрицательных чисел, потом вычитание. Числа разные: дробь, десятичная и смешанное. **Учитель:** Какие правила знаков нужны? **Ученик:** Одинаковые знаки в произведении и частном дают плюс, разные — минус. А вычесть число — значит прибавить противоположное. ### Этап 4. Решаем по алгоритму **Учитель:** Сначала произведение −2/3 · (−4,5). Какой знак? **Ученик:** Оба множителя отрицательные, значит плюс. **Учитель:** Найди значение. Что с числом 4,5? **Ученик:** 4,5 = 45/10 = 9/2. Тогда 2/3 · 9/2. Двойки сокращаются, 9 и 3 сокращаются на 3. Остаётся 3/1, то есть 3. **Учитель:** Теперь частное 1 1/2 : (−3/4). Что делаем со смешанным числом? **Ученик:** Записываю неправильной дробью: 1 · 2 + 1 = 3, получается 3/2. **Учитель:** Знак частного? **Ученик:** Знаки разные, значит минус. Модуль: 3/2 : 3/4 = 3/2 · 4/3 = 12/6 = 2. Получается −2. **Учитель:** Теперь всё выражение: 3 − (−2). > **Если ученик ответит:** 3 − 2 = 1. > **Учитель:** Что означает минус перед скобкой с отрицательным числом? Вычесть −2 — это прибавить какое число? **Ученик:** Прибавить противоположное число, то есть +2. 3 + 2 = 5. ### Этап 5. Проверка и ответ **Учитель:** Как проверить знаки? **Ученик:** Первое произведение: минус на минус даёт плюс. Частное: плюс на минус даёт минус. Вычитаем отрицательное число, значит прибавляем: 3 + 2 = 5. **Учитель:** Ответ в бланк? **Ученик:** 5. ### Этап 6. Перенос **Учитель:** По каким признакам узнаёшь такое задание? **Ученик:** Отрицательные числа в произведении и в частном, а после них вычитание. Определяю знак каждого действия отдельно. **Учитель:** Реши самостоятельно: −1 1/2 · (−2/3) − 0,9 : (−1 1/5). --- ## Задача D. Дробная черта: числитель и знаменатель считаются отдельно **Найдите значение выражения** (1 1/2 + 2/3 · 0,75) / (3,5 − 2 1/4) ### Этап 1. Что мы видим **Учитель:** Что мы видим? **Ученик:** Длинная дробная черта, а над ней и под ней — выражения. **Учитель:** Что означает такая черта? **Ученик:** Деление. И она заменяет скобки: сначала весь числитель, потом весь знаменатель. ### Этап 4. Решаем по алгоритму **Учитель:** Начни с числителя 1 1/2 + 2/3 · 0,75. Какое действие первое? **Ученик:** Умножение: 2/3 · 0,75. **Учитель:** Как его выполнить удобнее всего? **Ученик:** 0,75 = 75/100 = 3/4, сократил на 25. Тогда 2/3 · 3/4 = 6/12 = 1/2 = 0,5. **Учитель:** Числитель целиком. **Ученик:** 1,5 + 0,5 = 2. **Учитель:** Знаменатель 3,5 − 2 1/4. **Ученик:** 2 1/4 = 2,25. 3,5 − 2,25 = 1,25. **Учитель:** Осталось 2 : 1,25. Как делить на десятичную дробь? **Ученик:** Переношу запятые на два знака: 200 : 125 = 1,6. > **Если ученик ответит:** Сразу делю 1 1/2 на 3,5. > **Учитель:** Нет ли здесь скобок, которые ты не увидел? Что стоит над чертой целиком, а что под ней? ### Этап 5. Проверка и ответ **Учитель:** Как проверить деление? **Ученик:** Умножить частное на делитель: 1,6 · 1,25 = 2. Получили числитель. **Учитель:** Ответ в бланк? **Ученик:** 1,6. ### Этап 6. Перенос **Учитель:** По каким признакам узнаёшь такое задание? **Ученик:** Длинная дробная черта, под ней и над ней действия. Считаю отдельно числитель, отдельно знаменатель, потом делю. **Учитель:** Реши самостоятельно: (2 1/2 + 0,75 · 2/3) / (3 1/2 − 2 1/4). --- ## Задача E. Рациональный счёт: вынести общий множитель **Найдите значение выражения** 5/8 · 3,2 + 3/8 · 3,2 − 1 1/4 · 0,4 ### Этап 1. Что мы видим **Учитель:** Что мы видим? **Ученик:** Три произведения. В первых двух повторяется множитель 3,2. **Учитель:** Какое свойство здесь поможет? **Ученик:** Распределительное: a · b + a · c = a · (b + c). Выношу 3,2 за скобку. ### Этап 4. Решаем по алгоритму **Учитель:** Что остаётся в скобках? **Ученик:** 5/8 + 3/8. Знаменатели одинаковые, складываю числители: 8/8 = 1. **Учитель:** Чему равны первые два слагаемых вместе? **Ученик:** 1 · 3,2 = 3,2. **Учитель:** Теперь 1 1/4 · 0,4. Как считаешь? **Ученик:** 1 1/4 = 5/4, а 0,4 = 4/10 = 2/5. 5/4 · 2/5 = 10/20 = 1/2 = 0,5. **Учитель:** Откуда 0,4 = 2/5? **Ученик:** 4/10 сокращаю на 2: получается 2/5. **Учитель:** Последнее действие. **Ученик:** 3,2 − 0,5 = 2,7. ### Этап 5. Проверка и ответ **Учитель:** Как проверить, не вынося множитель? **Ученик:** Посчитать в лоб. 5/8 · 3,2 = 2, потому что 3,2 : 8 = 0,4, а 0,4 · 5 = 2. 3/8 · 3,2 = 1,2. Тогда 2 + 1,2 − 0,5 = 2,7. Совпало, но вынести множитель быстрее. **Учитель:** Ответ в бланк? **Ученик:** 2,7. ### Этап 6. Перенос **Учитель:** По каким признакам узнаёшь такое задание? **Ученик:** В нескольких слагаемых повторяется один и тот же множитель, а дроби при нём в сумме дают круглое число. Выношу множитель за скобки. **Учитель:** Реши самостоятельно: 7/8 · 4,8 + 1/8 · 4,8 − 2 1/2 · 0,6. --- ## Ответы к задачам для самостоятельного решения (для учителя) A: 1,5 (1 1/2) · B: 4 · C: 1,75 (1 3/4) · D: 2,4 (2 2/5) · E: 3,3 (3 3/10). Ответы на основные задачи: A: 1,2 · B: 4,5 · C: 5 · D: 1,6 · E: 2,7. --- ## План индивидуального урока, 60 минут 1. **0–5 мин. Вход.** Устный опрос: 5 вопросов из 14 (рекомендую № 2, 4, 6, 9, 12). Ошибки записать, они определят акценты урока. 2. **5–15 мин. Правила.** Диалог «Часть 1»: ученик сам формулирует правило сложения с общим знаменателем, умножения и деления и объясняет, откуда берётся общий знаменатель и почему делим «переворотом». Учитель фиксирует алгоритм. Памятка остаётся перед глазами. 3. **15–35 мин. Разбор в диалоге.** Задачи A, B, C (по 6–7 минут). Учитель только задаёт вопросы. Для слабого ученика — A и B с большим числом мелких шагов; для сильного — C, D и E, а также вопрос «можно ли быстрее?». 4. **35–45 мин. Самостоятельная работа.** Пятиминутка, вариант А (5–7 минут), проверка вместе по ответам. Четыре и более баллов — тренажёр с новыми числами, 5 задач; меньше — повторить ловушки, где были ошибки. 5. **45–55 мин. Работа над ошибками.** Каждая ошибка: какое правило нарушено, переписать верно, решить аналогичное задание из тренажёра. 6. **55–60 мин. Итог.** Ученик называет два признака, по которым узнаёт задание 6, и три ловушки. Выдать домашнее задание. Самооценка от 1 до 5 по вопросу «могу объяснить это другому». Резерв: если урок идёт быстрее, разобрать D или E. Если медленнее, пятиминутку и тренажёр перенести на домашнюю работу. --- ## План домашней работы 1. **День 1.** Домашняя карточка: 4 задачи, 20–25 минут. Записывать каждое действие, ответ вносить в бланк по правилам памятки. 2. **Дни 2–3.** Тренажёр с новыми числами: по 5 задач в день, брать типы, где были ошибки на уроке. 3. **Перед следующим уроком.** 3 вопроса устного опроса, ученик отвечает первым делом (5 минут). 4. **Следующий урок.** Начать с проверки карточки по ключевым точкам из её конца (10 минут), затем одна задача на перенос из этого файла. 5. **Через неделю.** Три задачи на обыкновенные дроби вперемешку с другой темой (проценты, уравнения), чтобы проверить, что навык удержался.