# Квадратные уравнения (№9 и №20)

## Разбор в формате диалога «ученик — учитель»

**Участники:** Учитель и Ученик (9 класс, подготовка к ОГЭ, №9 часть 1 и №20 часть 2).
**Как пользоваться:** сначала отвечай сам, потом сверяйся с диалогом. После каждой задачи есть похожая для самостоятельного решения (ответы в конце файла).
**Где мы в теме:** теория и устный опрос → тест → пятиминутка → этот разбор → тренажёры → зачётный лист → домашняя карточка.
**Задачи разбора:** 0. Полное квадратное уравнение (№9). 1. Замена переменной. 2. Дробно-рациональное уравнение. 3. Кубическое уравнение, группировка. 4. Посторонний корень. 5. Система с квадратным уравнением.

---

# Задача 0. Полное квадратное уравнение (уровень №9)

**Условие.** Решите уравнение 2x² − 3x − 5 = 0. Если корней несколько, запишите больший из них.

**Учитель:** Что мы видим?

**Ученик:** Квадратное уравнение, оно уже в виде ax² + bx + c = 0. Коэффициенты: a = 2, b = −3, c = −5. В условии просят записать только больший корень.

**Учитель:** Откуда берётся минус у b?

**Ученик:** Перед 3x стоит минус, значит b = −3. Знак коэффициента берём вместе с числом.

**Учитель:** Какой способ выберешь?

**Ученик:** Неполным оно не является, оба коэффициента b и c не равны нулю. Значит, дискриминант: D = b² − 4ac.

**Учитель:** Считай.

**Ученик:** D = (−3)² − 4 · 2 · (−5) = 9 + 40 = 49. D больше нуля, будет два корня. √D = 7.

**Учитель:** Откуда в формуле двойка в знаменателе?

**Ученик:** Формула x = (−b ± √D) / (2a), а у нас a = 2, поэтому знаменатель 4. Числитель: −b = 3. Получаем x = (3 ± 7) / 4. Это x₁ = 10/4 = 2,5 и x₂ = −4/4 = −1.

**Учитель:** Проверь по Виету.

**Ученик:** Сумма корней должна быть −b/a = 3/2 = 1,5. У нас 2,5 + (−1) = 1,5. Произведение c/a = −5/2 = −2,5, а 2,5 · (−1) = −2,5. Верно.

**Учитель:** Что запишешь в бланк?

**Ученик:** Больший корень, 2,5. Десятичную дробь пишу через запятую.

**Для самостоятельного решения.** Решите уравнение 2x² − 7x + 3 = 0. Запишите меньший корень.

---

# Задача 1. Замена переменной

**Условие.** Решите уравнение (x² − 3x)² − 2(x² − 3x) − 8 = 0.

## Этап 1. Что мы видим

**Учитель:** Что мы видим?

**Ученик:** Уравнение четвёртой степени, если раскрыть скобки. Это №20. Но выражение x² − 3x встречается два раза.

**Учитель:** Что в такой задаче легко сделать неверно?

**Ученик:** Раскрывать скобки и получать длинный многочлен четвёртой степени. Или найти значение вспомогательной переменной и забыть вернуться к x.

## Этап 2. Как мы решаем подобное

**Учитель:** Какой приём применяют, если одно и то же выражение повторяется?

**Ученик:** Замену переменной. Это выражение обозначают новой буквой, решают более простое уравнение, потом возвращаются к x.

## Этап 3. Алгоритм

**Учитель:** Запиши шаги.

**Ученик:** 1) Ввести t. 2) Решить квадратное уравнение относительно t. 3) Для каждого t решить уравнение с x. 4) Собрать все корни и записать в ответ.

## Этап 4. Решение

**Учитель:** Вводим замену. Откуда берём уравнение для t?

**Ученик:** Пусть t = x² − 3x. Заменяю это выражение везде. Получается t² − 2t − 8 = 0.

**Учитель:** Решай.

**Ученик:** D = (−2)² − 4 · 1 · (−8) = 4 + 32 = 36. t = (2 ± 6) / 2: t₁ = 4, t₂ = −2.

**Учитель:** Что теперь?

**Ученик:** Возвращаюсь к x. Первое: x² − 3x = 4. Переношу: x² − 3x − 4 = 0, D = 9 + 16 = 25, x = (3 ± 5) / 2, это x = 4 и x = −1.

**Учитель:** Второе.

**Ученик:** x² − 3x = −2, значит x² − 3x + 2 = 0, D = 9 − 8 = 1, x = (3 ± 1) / 2, то есть x = 2 и x = 1.

## Этап 5. Проверка и оформление

**Ученик:** Проверю x = 1: (1 − 3)² − 2 · (1 − 3) − 8 = 4 + 4 − 8 = 0. Верно.

**Учитель:** Что запишешь в ответ?

**Ученик:** Все четыре корня: −1; 1; 2; 4. Не t, а x.

**Для самостоятельного решения.** Решите уравнение (x² − 4x)² − 2(x² − 4x) − 15 = 0.

---

# Задача 2. Дробно-рациональное уравнение

**Условие.** Решите уравнение (x + 1)/(x − 1) + (x − 1)/(x + 1) = 10/3.

## Этап 1. Что мы видим

**Учитель:** Что мы видим?

**Ученик:** Уравнение с дробями, в знаменателях x. Значит, есть значения x, при которых знаменатель равен нулю.

**Учитель:** Какие?

**Ученик:** x − 1 = 0 при x = 1 и x + 1 = 0 при x = −1. Эти числа корнями быть не могут.

## Этап 2. Как мы решаем подобное

**Учитель:** Как избавиться от дробей?

**Ученик:** Привести к общему знаменателю и умножить обе части на него, предварительно записав ОДЗ.

## Этап 3. Алгоритм

**Ученик:** 1) Записать ОДЗ. 2) Привести дроби к общему знаменателю. 3) Свести к квадратному уравнению. 4) Решить. 5) Проверить корни по ОДЗ.

## Этап 4. Решение

**Учитель:** Какой общий знаменатель?

**Ученик:** (x − 1)(x + 1) = x² − 1. Первую дробь домножаю на (x + 1), вторую на (x − 1): числитель (x + 1)² + (x − 1)² = x² + 2x + 1 + x² − 2x + 1 = 2x² + 2.

**Учитель:** Куда делись слагаемые 2x и −2x?

**Ученик:** Сократились: их сумма равна нулю.

**Учитель:** Что записываешь дальше?

**Ученик:** (2x² + 2)/(x² − 1) = 10/3. По основному свойству пропорции 3(2x² + 2) = 10(x² − 1). Раскрываю: 6x² + 6 = 10x² − 10. Переношу: 4x² = 16, x² = 4, x = 2 или x = −2.

## Этап 5. Проверка и оформление

**Ученик:** Оба числа не равны 1 и −1, значит, входят в ОДЗ. Проверю x = 2: 3/1 + 1/3 = 10/3. Верно. Ответ: −2; 2.

**Для самостоятельного решения.** Решите уравнение (x + 2)/(x − 2) + (x − 2)/(x + 2) = 5/2.

---

# Задача 3. Кубическое уравнение, группировка

**Условие.** Решите уравнение x³ + 3x² − 4x − 12 = 0.

## Этап 1. Что мы видим

**Ученик:** Кубическое уравнение. Формул для него в школе нет. Значит, надо разложить на множители.

**Учитель:** Что легко сделать неверно?

**Ученик:** Поделить обе части на x + 3. Тогда потеряю корень.

## Этап 2. Как мы решаем подобное

**Ученик:** Если у многочлена четыре члена, группируют их попарно и выносят общий множитель. Потом применяют правило: произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

## Этап 3. Алгоритм

**Ученик:** 1) Сгруппировать. 2) Вынести общие множители. 3) Вынести общую скобку. 4) Разложить остаток. 5) Приравнять каждый множитель к нулю.

## Этап 4. Решение

**Учитель:** Какие пары?

**Ученик:** (x³ + 3x²) и (−4x − 12). В первой вынесу x², получится x²(x + 3). Во второй вынесу −4: −4(x + 3). В обеих осталась скобка (x + 3).

**Учитель:** Что дальше?

**Ученик:** Выношу общую скобку: (x + 3)(x² − 4) = 0. Разность квадратов: x² − 4 = (x − 2)(x + 2). Получаю (x + 3)(x − 2)(x + 2) = 0.

**Учитель:** Откуда три корня?

**Ученик:** Три множителя, каждый равен нулю по очереди: x = −3, x = 2, x = −2.

## Этап 5. Проверка и оформление

**Ученик:** Проверю x = −3: (−27) + 27 + 12 − 12 = 0. Верно. Ответ: −3; −2; 2.

**Для самостоятельного решения.** Решите уравнение x³ + 5x² − 4x − 20 = 0.

---

# Задача 4. Посторонний корень

**Условие.** Решите уравнение x/(x − 2) − 8/(x² − 4) = 1/(x + 2).

## Этап 1. Что мы видим

**Ученик:** Дробное уравнение. В знаменателе x² − 4. Это разность квадратов, (x − 2)(x + 2).

**Учитель:** Что легко сделать неверно?

**Ученик:** Не записать ОДЗ и оставить в ответе число, при котором знаменатель равен нулю.

## Этап 2. Как мы решаем подобное

**Ученик:** Как в задаче 2: ОДЗ, общий знаменатель, квадратное уравнение, отбор корней.

## Этап 3. Алгоритм

**Ученик:** 1) Разложить знаменатели. 2) Записать ОДЗ. 3) Умножить на общий знаменатель. 4) Решить. 5) Отбросить числа, не входящие в ОДЗ.

## Этап 4. Решение

**Учитель:** ОДЗ?

**Ученик:** x ≠ 2 и x ≠ −2.

**Учитель:** Умножаем на (x − 2)(x + 2). Что получается с каждой дробью?

**Ученик:** Первая дробь: знаменатель x − 2 сократился, остаётся x(x + 2). Вторая: знаменатель x² − 4 сократился целиком, остаётся 8. Третья: знаменатель x + 2 сократился, остаётся x − 2. Получаю x(x + 2) − 8 = x − 2.

**Учитель:** Дальше.

**Ученик:** x² + 2x − 8 = x − 2. Переношу всё влево: x² + 2x − 8 − x + 2 = 0, значит x² + x − 6 = 0. D = 1 + 24 = 25. x = (−1 ± 5) / 2: x = 2 и x = −3.

## Этап 5. Проверка и оформление

**Учитель:** Что делаешь с корнями?

**Ученик:** Сверяю с ОДЗ. Число 2 запрещено: при нём знаменатель x − 2 обращается в нуль, это посторонний корень. Число −3 подходит. Проверка: −3/(−5) − 8/(9 − 4) = 0,6 − 1,6 = −1, а 1/(−3 + 2) = −1. Верно. Ответ: −3.

**Для самостоятельного решения.** Решите уравнение x/(x − 4) − 32/(x² − 16) = 1/(x + 4).

---

# Задача 5. Система с квадратным уравнением

**Условие.** Решите систему уравнений: x² + y² = 29, x − y = 3.

## Этап 1. Что мы видим

**Ученик:** Система из квадратного и линейного уравнений. Ответ будет в виде пар.

**Учитель:** Что легко сделать неверно?

**Ученик:** Неверно раскрыть квадрат суммы или записать в ответ только значения y.

## Этап 2. Как мы решаем подобное

**Ученик:** Способом подстановки: из линейного уравнения выражаю одну переменную, подставляю в квадратное.

## Этап 3. Алгоритм

**Ученик:** 1) Выразить. 2) Подставить. 3) Решить квадратное. 4) Найти вторую переменную для каждого корня. 5) Записать пары.

## Этап 4. Решение

**Учитель:** Что выражаешь?

**Ученик:** Из x − y = 3 получаю x = y + 3.

**Учитель:** Подставляй.

**Ученик:** (y + 3)² + y² = 29. Квадрат суммы: y² + 6y + 9. Складываю: 2y² + 6y + 9 = 29, значит 2y² + 6y − 20 = 0. Делю на 2: y² + 3y − 10 = 0.

**Учитель:** Решай.

**Ученик:** D = 9 + 40 = 49. y = (−3 ± 7) / 2: y = 2 или y = −5.

**Учитель:** Как найти x?

**Ученик:** По формуле x = y + 3. Если y = 2, то x = 5. Если y = −5, то x = −2.

## Этап 5. Проверка и оформление

**Ученик:** Пара (5; 2): 25 + 4 = 29, 5 − 2 = 3. Пара (−2; −5): 4 + 25 = 29, −2 − (−5) = 3. Обе подходят. Ответ записываю парами: (5; 2), (−2; −5).

**Для самостоятельного решения.** Решите систему уравнений: x² + y² = 13, x − y = 1.

---

# Ответы к задачам для самостоятельного решения

0. 2x² − 7x + 3 = 0: D = 25, x = 3 и x = 0,5; меньший корень 0,5.
1. −1; 1; 3; 5 (t = x² − 4x; t² − 2t − 15 = 0; t = 5 или −3).
2. −6; 6 (ОДЗ x ≠ ±2; (2x² + 8)/(x² − 4) = 5/2; 4x² + 16 = 5x² − 20; x² = 36).
3. −5; −2; 2 ((x + 5)(x − 2)(x + 2) = 0).
4. −7 (ОДЗ x ≠ ±4; x² + 3x − 28 = 0; корни 4 и −7; число 4 посторонний).
5. (3; 2), (−2; −3) (x = y + 1; y² + y − 6 = 0; y = 2 или y = −3).