# Корни (задание 8 ОГЭ)

**Разбор в формате диалога «ученик — учитель».** Участники: Учитель и Ученик (9 класс, подготовка к ОГЭ, часть 1, задание 8: значение выражения с квадратными корнями). Основные задачи A–E и задачи для переноса.

**Как пользоваться:** сначала отвечай сам, потом сверяйся с диалогом. В конце каждой задачи есть задача для самостоятельного решения. Печать: 2 колонки, шрифт 9 pt, экономия бумаги.

**Где мы в теме:** теория и устный опрос → тест → пятиминутка → этот разбор → тренажёры → зачётный лист → домашняя карточка.

---

## Часть 1. Общий алгоритм (один раз для всех пяти задач)

**Учитель:** Открой любое задание 8 с корнями. Что мы видим?

**Ученик:** Числовое выражение с квадратными корнями: корни перемножают, вычитают, возводят в квадрат, иногда под корнем степени или десятичные дроби. Надо найти значение.

**Учитель:** Что в ответе?

**Ученик:** Одно число: целое или конечная десятичная дробь. Корня в ответе не остаётся. Если остался, значит я где-то ошибся. В первой части проверяется только ответ, поэтому один неверный знак стоит всего балла.

**Учитель:** Что такое арифметический квадратный корень?

**Ученик:** Неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному числу. √49 = 7, потому что 7 ≥ 0 и 7² = 49. Поэтому √((−7)²) = √49 = 7, а не −7: корень не бывает отрицательным. Общее правило: √(a²) = |a|.

**Учитель:** Откуда берётся правило √(ab) = √a · √b?

**Ученик:** Возьмём √a · √b. Оно неотрицательно, а его квадрат равен (√a)² · (√b)² = a · b. Значит это неотрицательное число, квадрат которого ab, то есть как раз √(ab). Деление работает так же: √(a/b) = √a / √b.

**Учитель:** А можно ли так же поступить с суммой: √(a + b) = √a + √b?

**Ученик:** Нет. √(9 + 16) = √25 = 5, а √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Для суммы такого свойства нет, и для разности тоже.

**Учитель:** Откуда берётся вынесение множителя?

**Ученик:** Из свойства произведения: √(a²b) = √(a²) · √b = a√b при a ≥ 0. Например, √75 = √(25 · 3) = √25 · √3 = 5√3. Подкоренное число раскладываю на множитель, который является точным квадратом, и остаток.

**Учитель:** А формулы сокращённого умножения откуда?

**Ученик:** Это раскрытие скобок. (a + b)(a − b) = a² − ab + ab − b² = a² − b²: средние слагаемые уничтожаются. (a − b)² = (a − b)(a − b) = a² − 2ab + b². Для корней добавляется одно: (√a)² = a и (m√a)² = m²a, в квадрат возводятся и коэффициент, и корень.

**Учитель:** Зафиксируем алгоритм, он подходит к любому заданию 8 с корнями:

1. Разметь выражение: корни, скобки, знаки, десятичные дроби, степени под корнем, дробная черта.
2. Выбери приём: под корнем произведение или степени → корень из каждого множителя; разные корни с общим «квадратным» множителем → вынести множитель; скобки с корнями → формулы; десятичные дроби → записать произведение под одним корнем, запятая вдвое меньше знаков.
3. Преобразуй по шагам, каждое действие отдельной строкой. Следи за знаками перед скобками.
4. Приведи подобные слагаемые: слагаемые с одинаковым корнем складывай по коэффициентам.
5. Проверь приближённо: √2 ≈ 1,41; √3 ≈ 1,73; √5 ≈ 2,24; √7 ≈ 2,65.
6. Запиши в бланк №1 только число: десятичная запятая, без знака корня и без знака равенства.

---

## Часть 2. Разбор задач A–E

### Задача A. Вынесение множителя из-под знака корня, подобные слагаемые

**Условие:** найдите значение выражения (√75 − √12) / √3.

**Учитель:** Что мы видим в этом выражении?

**Ученик:** Дробь: в числителе разность двух корней, в знаменателе корень. Подкоренные числа разные: 75, 12 и 3. Но 75 = 25 · 3, а 12 = 4 · 3, то есть в каждом числе есть множитель 3.

**Учитель:** Можно ли сразу вычесть: √75 − √12 = √63?

**Ученик:** Нельзя. Корень из разности не равен разности корней, как и корень из суммы. Проверим на малых числах: √(25 − 16) = √9 = 3, а √25 − √16 = 1.

**Учитель:** Какое правило нам понадобится и откуда оно?

**Ученик:** Вынесение множителя: √(a²b) = a√b, оно следует из свойства корня из произведения. И правило подобных слагаемых: m√3 − n√3 = (m − n)√3, как «5 яблок минус 2 яблока».

**Учитель:** Составь план.

**Ученик:** Вынести множитель из каждого корня → привести подобные слагаемые → разделить на √3.

**Учитель:** Почему мы раскладываем именно на 25 · 3 и 4 · 3?

**Ученик:** Потому что в знаменателе √3. Нужно, чтобы в числителе тоже был √3 и он сократился. 25 и 4 выбираем потому, что это точные квадраты.

**Учитель:** Выполни первый шаг.

**Ученик:** √75 = √(25 · 3) = √25 · √3 = 5√3. √12 = √(4 · 3) = 2√3.

**Учитель:** Дальше.

**Ученик:** Числитель: 5√3 − 2√3 = (5 − 2)√3 = 3√3. Общий множитель √3 вынесен за скобку.

**Учитель:** Теперь деление.

**Ученик:** 3√3 / √3 = 3. √3 в числителе и знаменателе сокращается.

**Учитель:** Запиши цепочку целиком.

**Ученик:** √75 = 5√3, √12 = 2√3. Числитель: 5√3 − 2√3 = 3√3. Частное: 3√3 / √3 = 3. **Ответ: 3.**

**Учитель:** Проверь другим способом.

**Ученик:** √75 ≈ 8,660; √12 ≈ 3,464; разность ≈ 5,196; √3 ≈ 1,732. 5,196 / 1,732 = 3,000.

**Учитель:** Где чаще всего ошибаются?

**Ученик:** Вычитают подкоренные числа: √75 − √12 = √63. И неверно выносят множитель: пишут √75 = 25√3, хотя в коэффициент идёт √25 = 5.

**Учитель:** Реши самостоятельно: (√98 − √50) / √2.

### Задача B. Разность квадратов с корнями

**Условие:** найдите значение выражения (√11 + 2√7)(√11 − 2√7).

**Учитель:** Что мы видим?

**Ученик:** Произведение суммы и разности одних и тех же выражений: √11 и 2√7. Это формула разности квадратов.

**Учитель:** Какое правило и откуда оно?

**Ученик:** (a + b)(a − b) = a² − b². Если раскрыть скобки, получим a² − ab + ab − b², средние слагаемые сокращаются. Ещё нужно знать, что (√11)² = 11 по определению корня и (2√7)² = 2² · (√7)² = 4 · 7 = 28.

**Учитель:** Составь план.

**Ученик:** Найти a², найти b², вычесть.

**Учитель:** Почему не раскрывать скобки по одной?

**Ученик:** Можно, но получится √11 · √11 − 2√11 · √7 + 2√7 · √11 − 4 · 7, и средние слагаемые всё равно сократятся. Формула быстрее и там меньше шансов ошибиться со знаком.

**Учитель:** Выполни.

**Ученик:** a = √11, a² = 11. b = 2√7, b² = 4 · 7 = 28. a² − b² = 11 − 28 = −17.

**Учитель:** Запиши цепочку целиком.

**Ученик:** (√11 + 2√7)(√11 − 2√7) = (√11)² − (2√7)² = 11 − 4 · 7 = 11 − 28 = −17. **Ответ: −17.**

**Учитель:** Проверь другим способом.

**Ученик:** √11 ≈ 3,3166; 2√7 ≈ 5,2915. Сумма ≈ 8,6081, разность ≈ −1,9749. Произведение ≈ −17,00.

**Учитель:** Где чаще всего ошибаются?

**Ученик:** (2√7)² считают равным 14 или 4√7: забывают, что в квадрат возводится и коэффициент, и корень. И теряют знак: ответ отрицательный, потому что 11 < 28.

**Учитель:** Реши самостоятельно: (3√5 + √13)(3√5 − √13).

### Задача C. Квадрат разности и сокращение слагаемых с корнем

**Условие:** найдите значение выражения (√7 − 2)² + 4√7.

**Учитель:** Что мы видим?

**Ученик:** Квадрат разности с корнем и слагаемое 4√7. Ответ должен быть числом, значит слагаемые с √7 где-то сократятся.

**Учитель:** Какое правило и откуда оно?

**Ученик:** (a − b)² = a² − 2ab + b². Это произведение (a − b)(a − b): a² − ab − ab + b². Для разности квадратов запись (a − b)² = a² − b² была бы ошибкой, потому что пропадает удвоенное произведение.

**Учитель:** Составь план.

**Ученик:** Взять a = √7, b = 2. Найти a², 2ab, b². Сложить, потом прибавить 4√7 и привести подобные.

**Учитель:** Выполни.

**Ученик:** a² = (√7)² = 7. 2ab = 2 · √7 · 2 = 4√7. b² = 4. Значит (√7 − 2)² = 7 − 4√7 + 4 = 11 − 4√7.

**Учитель:** Теперь всё выражение.

**Ученик:** 11 − 4√7 + 4√7 = 11. Слагаемые −4√7 и +4√7 взаимно уничтожаются.

**Учитель:** Запиши цепочку целиком.

**Ученик:** (√7 − 2)² + 4√7 = 7 − 4√7 + 4 + 4√7 = 11. **Ответ: 11.**

**Учитель:** Проверь другим способом.

**Ученик:** √7 ≈ 2,6458; √7 − 2 ≈ 0,6458; квадрат ≈ 0,4170; 4√7 ≈ 10,583. Сумма ≈ 11,000.

**Учитель:** Где чаще всего ошибаются?

**Ученик:** Теряют удвоенное произведение: (√7 − 2)² записывают как 7 − 4 и получают 3. Тогда корень в ответе не сократится, и это сигнал ошибки.

**Учитель:** Реши самостоятельно: (√13 + 3)² − 6√13.

### Задача D. Корень из произведения степеней

**Условие:** найдите значение выражения √(2⁶ · 3⁴ · 5²) / 12.

**Учитель:** Что мы видим?

**Ученик:** Под корнем произведение степеней, все показатели чётные: 6, 4 и 2. Потом деление на 12.

**Учитель:** Какое правило и откуда оно?

**Ученик:** При a ≥ 0 корень из a²ⁿ равен aⁿ: показатель под корнем делят на 2. Это следует из того, что (aⁿ)² = a²ⁿ и число aⁿ неотрицательно. Корень из произведения равен произведению корней, поэтому извлекаем корень из каждого множителя.

**Учитель:** Составь план.

**Ученик:** Корень из каждой степени (показатель пополам) → перемножить → разделить на 12.

**Учитель:** Выполни.

**Ученик:** √(2⁶) = 2³ = 8. √(3⁴) = 3² = 9. √(5²) = 5.

**Учитель:** Дальше.

**Ученик:** 8 · 9 · 5 = 72 · 5 = 360. 360 / 12 = 30.

**Учитель:** Запиши цепочку целиком.

**Ученик:** √(2⁶ · 3⁴ · 5²) = 2³ · 3² · 5 = 8 · 9 · 5 = 360. 360 / 12 = 30. **Ответ: 30.**

**Учитель:** Проверь другим способом.

**Ученик:** 2⁶ · 3⁴ · 5² = 64 · 81 · 25 = 129600. 360² = 129600, значит корень равен 360. 360 / 12 = 30.

**Учитель:** Где чаще всего ошибаются?

**Ученик:** Показатель не делят на 2, а оставляют или вычитают: считают √(2⁶) равным 2⁶ или 2⁴. Правильно 2³ = 8.

**Учитель:** Реши самостоятельно: √(2⁸ · 3² · 5⁴) / 20.

### Задача E. Корни из десятичных дробей

**Условие:** найдите значение выражения √1,6 · √40 − √(0,01 · 25).

**Учитель:** Что мы видим?

**Ученик:** Десятичные дроби под корнем. Первое слагаемое — произведение двух корней, второе — корень из произведения.

**Учитель:** Какое правило и откуда оно?

**Ученик:** √a · √b = √(ab) при a ≥ 0 и b ≥ 0. Это то же свойство произведения, прочитанное справа налево. И запись корня из десятичной дроби: после запятой под корнем вдвое больше знаков, чем в ответе, потому что при возведении в квадрат число знаков после запятой удваивается: 0,5² = 0,25.

**Учитель:** Составь план.

**Ученик:** Первое слагаемое — под один корень. Второе — найти произведение под корнем. Вычесть.

**Учитель:** Выполни первое слагаемое.

**Ученик:** 1,6 · 40 = 64, √64 = 8.

**Учитель:** Второе.

**Ученик:** 0,01 · 25 = 0,25, √0,25 = 0,5, так как 0,5² = 0,25. Можно и по частям: √0,01 = 0,1, √25 = 5, 0,1 · 5 = 0,5.

**Учитель:** Запиши цепочку целиком.

**Ученик:** √1,6 · √40 = √64 = 8. √(0,01 · 25) = √0,25 = 0,5. 8 − 0,5 = 7,5. **Ответ: 7,5.**

**Учитель:** Проверь другим способом.

**Ученик:** √1,6 ≈ 1,2649; √40 ≈ 6,3246; произведение ≈ 8,000. 8 − 0,5 = 7,5.

**Учитель:** Где чаще всего ошибаются?

**Ученик:** √0,01 считают равным 0,01 или 0,001. Правильно 0,1: в корне запятая переносится на вдвое меньше знаков.

**Учитель:** Реши самостоятельно: √2,5 · √10 − √(0,04 · 9).

---

## Ответы к задачам для самостоятельного решения (для учителя)

A: 2 · B: 32 · C: 22 · D: 60 · E: 4,4.

Ключи: A) √98 = 7√2, √50 = 5√2, разность 2√2, частное 2. B) 9 · 5 − 13 = 45 − 13 = 32. C) 13 + 6√13 + 9 − 6√13 = 22. D) 2⁴ · 3 · 5² = 16 · 3 · 25 = 1200; 1200 / 20 = 60. E) √25 = 5; √0,36 = 0,6; 5 − 0,6 = 4,4.

Ответы на основные задачи: A: 3 · B: −17 · C: 11 · D: 30 · E: 7,5.

---

## План индивидуального урока, 60 минут

1. **0–5 мин. Вход.** Устный опрос: 5 вопросов из теории (рекомендую вопросы про √(a²) = |a|, про корень из суммы, про вынесение множителя √75). Ошибки записать: они определят акценты урока.
2. **5–15 мин. Теория.** Диалог «Часть 1»: ученик сам объясняет, откуда берутся √(ab) = √a · √b и вынесение множителя, и почему нет свойства для суммы. Учитель фиксирует алгоритм, памятка остаётся перед глазами.
3. **15–25 мин. Разбор в диалоге.** Задача A: учитель только задаёт вопросы, ученик вслух объясняет «откуда это берётся».
4. **25–40 мин. Самостоятельная работа.** Задачи B и C. Ученик записывает каждое действие, учитель молчит и фиксирует ошибки. Затем сверка с разбором и ловушками.
5. **40–50 мин. Пятиминутка.** Вариант А (5–7 минут), проверка по ответам. Четыре и более баллов из пяти: тренажёр с новыми числами; меньше: повторить ловушки, где были ошибки.
6. **50–57 мин. Работа над ошибками и бланк.** Каждая ошибка: какое правило нарушено, переписать верно, решить аналогичное. Потренироваться записывать ответ в бланк №1 (запятая, без знака корня).
7. **57–60 мин. Итог и ДЗ.** Ученик называет три ловушки и два признака, по которым выбирает приём. Выдать домашнюю карточку. Самооценка от 1 до 5: «могу объяснить это другому».

Резерв: если урок идёт быстрее, разобрать D (корень из степеней) или E (десятичные дроби). Если медленнее, пятиминутку перенести на домашнюю работу.

---

## План домашней работы

1. **День 1.** Домашняя карточка: 4 задачи, 20–25 минут. Записывать каждое действие, ответ вносить в бланк по правилам памятки.
2. **Дни 2–3.** Тренажёр с новыми числами: по 5 заданий в день, брать типы, где были ошибки на уроке.
3. **Перед следующим уроком.** 3 вопроса устного опроса, ученик отвечает первым делом (5 минут).
4. **Следующий урок.** Проверка карточки по ключевым точкам из её конца (10 минут), затем зачётный лист (уровни 1 и 2) на оценку; уровень 3 по желанию.
5. **Через неделю.** Три задачи на корни вперемешку с другой темой (степени, дроби, проценты, уравнения), чтобы проверить, что навык удержался.