# Построение графика кусочной функции (задание 22 ОГЭ) **Разбор в формате диалога «ученик — учитель».** Участники: Учитель и Ученик (9 класс, подготовка к ОГЭ, часть 2, задание 22: построить график функции и найти значения параметра m или k, при которых прямая имеет с графиком заданное число общих точек). Пять задач повышенной сложности: 1–5. **Как пользоваться:** сначала отвечай сам, потом сверяйся с диалогом. В каждой задаче есть вопрос «откуда это берётся» и ветка с типичной ошибкой. Для самостоятельного решения после каждой задачи указана похожая задача из домашней карточки или зачётного листа. Печать: 2 колонки, шрифт 9 pt, экономия бумаги. **Где мы в теме:** теория и устный опрос → тест → пятиминутка → этот разбор → тренажёры → памятка → зачётный лист → домашняя карточка. --- ## Часть 1. Общий алгоритм (один раз для всех пяти задач) **Учитель:** Открой любое задание 22. Что мы видим? **Ученик:** Дана формула функции: кусочная, с дробью или с модулем. Надо построить график и найти, при каких m (или k) прямая y = m (или y = kx) имеет с графиком ровно одну, две или три общие точки. **Учитель:** Что проверяет эксперт и сколько это стоит? **Ученик:** Два балла. Нужен верный график и верные значения параметра. Если график верный, а значения неверные, будет один балл. Если график неверный, ответ не засчитают. **Учитель:** Что такое кусочно-заданная функция и как строят её график? **Ученик:** Это функция, которая на разных промежутках задана разными формулами. Каждую формулу строю только на своём промежутке. На границе точку закрашиваю при нестрогом неравенстве (≤, ≥) и выкалываю при строгом (<, >). **Учитель:** Верно, так и в учебнике. Откуда берётся выколотая точка у дроби? **Ученик:** Из знаменателя. На нуль делить нельзя, поэтому значения x, при которых знаменатель равен нулю, в график не входят. Это нужно записать до сокращения, потому что после сокращения запрет уже не виден. **Учитель:** Как найти ординату выколотой точки? **Ученик:** Подставить её абсциссу в сокращённую формулу. **Учитель:** Назови шаги решения до того, как мы начнём считать. **Ученик:** Найти область определения. Упростить: разложить на множители и сократить, раскрыть модули. Определить вид каждого куска. Составить таблицу точек. Построить график. Подвигать прямую и проверить особые значения. **Учитель:** Фиксируем алгоритм: 1. Прочитать вопрос: прямая y = m или y = kx, сколько точек. 2. Найти область определения (знаменатель ≠ 0) до сокращения. 3. Упростить: разложить на множители и сократить, раскрыть модули на промежутках. 4. Определить вид каждого куска (прямая, парабола, гипербола) и границы (строго или нет). 5. Составить таблицу: вершина, нули, концы кусков, точки с обеих сторон; построить график, выколотые точки пустым кружком. 6. Двигать прямую, найти особые положения (вершины, концы кусков, выколотые точки, касание), проверить их подстановкой, записать ответ. --- ## Часть 2. Пять задач ### Задача 1. Дробь с выколотыми точками, прямая y = m **Условие.** Постройте график функции y = (x⁴ − 13x² + 36)/((x − 3)(x + 2)). Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку. **Учитель:** Что мы видим? **Ученик:** Дробь. Вверху многочлен четвёртой степени, внизу произведение двух скобок. Нужна прямая y = m и ровно одна общая точка. **Учитель:** Что делаем первым, ещё до преобразований? **Ученик:** Область определения: знаменатель не равен нулю. **Учитель:** Откуда берутся запрещённые значения? **Ученик:** (x − 3)(x + 2) = 0, когда x = 3 или x = −2. Значит, x ≠ 3 и x ≠ −2. **Учитель:** Как разложить числитель x⁴ − 13x² + 36? **Ученик:** Это квадратный трёхчлен относительно x². Замена t = x²: t² − 13t + 36 = 0. По теореме Виета корни 4 и 9, значит t² − 13t + 36 = (t − 4)(t − 9) = (x² − 4)(x² − 9). **Учитель:** Что дальше с каждой скобкой? **Ученик:** Разность квадратов: (x − 2)(x + 2)(x − 3)(x + 3). **Учитель:** Что можно сократить? **Ученик:** Скобки (x − 3) и (x + 2) есть и в числителе, и в знаменателе. Остаётся y = (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6. **Учитель:** Какой это график и что на нём особенного? **Ученик:** Парабола, ветви вверх. Но точки с x = 3 и x = −2 выколоты. **Учитель:** Как найти ординаты выколотых точек? **Ученик:** Подставить в сокращённую формулу. При x = 3: 9 + 3 − 6 = 6. При x = −2: 4 − 2 − 6 = −4. Точки (3; 6) и (−2; −4) выколоты. **Учитель:** Найди вершину и нули. **Ученик:** x₀ = −b/(2a) = −1/2, y₀ = 0,25 − 0,5 − 6 = −6,25. Нули из (x − 2)(x + 3) = 0: x = 2 и x = −3. **Учитель:** Двигаем прямую y = m снизу вверх. Сколько точек ниже вершины и в вершине? **Ученик:** Ниже вершины ни одной. В вершине, при m = −6,25, одна. > **Если ученик ответит:** «Выше вершины всегда две точки, значит ответ только m = −6,25». > **Учитель:** Проверь уровни y = −4 и y = 6. Какие x дают такие значения и все ли они есть на графике? > **Ученик:** При y = −4: x² + x − 2 = 0, x = 1 или x = −2, но x = −2 выколота, остаётся одна точка. При y = 6: x² + x − 12 = 0, x = 3 или x = −4, но x = 3 выколота, остаётся одна. Значит, нужно добавить −4 и 6. **Учитель:** Какой итоговый ответ? **Ученик:** m = −6,25; m = −4; m = 6. **Учитель:** Как записать в бланк №2 и как проверить? **Ученик:** Под графиком строка «Ответ: −6,25; −4; 6», выколотые точки на графике пустые. Проверка: подставить каждое m в уравнение и убедиться, что запрещённый x отсеялся. **Учитель:** По каким признакам узнаешь такое задание? **Ученик:** Дробь, в знаменателе скобки с линейными множителями, в числителе многочлен, который раскладывается. Тогда будут выколотые точки. **Для самостоятельного решения:** задача 1 домашней карточки. --- ### Задача 2. Кусочная функция с гиперболой **Условие.** Постройте график функции y = −4/x при x ≤ −1; y = −x² + 2x + 3 при −1 < x ≤ 3; y = x − 3 при x > 3. Определите, при каких m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку. **Учитель:** Что мы видим? **Ученик:** Кусочная функция из трёх формул: гипербола, парабола, прямая. Нужна одна общая точка с y = m. **Учитель:** Начнём с первого куска. В какой четверти ветвь гиперболы y = −4/x при x ≤ −1? **Ученик:** x отрицательный, k = −4 отрицательное, значит y положительный. Это вторая четверть. **Учитель:** Какие точки возьмёшь? **Ученик:** x = −1: y = 4; x = −2: y = 2; x = −4: y = 1; x = −8: y = 0,5. Точка (−1; 4) закрашена, потому что x ≤ −1 нестрогое неравенство. **Учитель:** Теперь парабола на (−1; 3]. Где вершина? **Ученик:** x₀ = −b/(2a) = −2/(2 · (−1)) = 1, y₀ = −1 + 2 + 3 = 4. Ветви вниз, потому что a = −1. **Учитель:** Нули и граничные точки? **Ученик:** −x² + 2x + 3 = 0, то есть x² − 2x − 3 = 0, корни −1 и 3. Точка (−1; 0) выколота, потому что −1 < x (строго). Точка (3; 0) закрашена, потому что x ≤ 3. **Учитель:** Что с третьим куском, лучом y = x − 3 при x > 3? **Ученик:** Точка (3; 0) для луча выколота, но она принадлежит параболе и там закрашена. Значит, на графике она есть. Ещё точки: (4; 1), (5; 2). **Учитель:** Почему это важно? **Ученик:** Если бы я выколол (3; 0) совсем, то при m = 0 точки бы не было. А она есть, значит при m = 0 общая точка существует. **Учитель:** Считаем точки. Сколько при m > 4? **Ученик:** Гипербола не выше 4, парабола не выше 4, значит только луч: одна точка. **Учитель:** При m = 4? **Ученик:** Гипербола в точке x = −1, вершина параболы x = 1 и луч x = 7. Три точки. **Учитель:** При 0 < m < 4? **Ученик:** Гипербола одна, парабола две, луч одна: четыре точки. **Учитель:** При m = 0 и при m < 0? > **Если ученик ответит:** «При m = 0 парабола даёт две точки, x = −1 и x = 3». > **Учитель:** Принадлежит ли x = −1 промежутку (−1; 3]? > **Ученик:** Нет, неравенство строгое. Остаётся только x = 3. Гипербола и луч значения 0 не принимают. Значит, одна точка. **Ученик:** При m < 0 точек нет. **Учитель:** Итоговый ответ? **Ученик:** m = 0 или m > 4. **Учитель:** Какую ошибку здесь делают чаще всего? **Ученик:** При m = 4 забывают про гиперболу и пишут две точки. А при m = 0 не замечают, что точка (−1; 0) выколота. **Для самостоятельного решения:** задача 2 домашней карточки. --- ### Задача 3. Модуль, прямая y = m **Условие.** Постройте график функции y = x|x| − 3|x|. Определите, при каких m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки. **Учитель:** Что мы видим? **Ученик:** Формула с модулем. Её нельзя строить сразу, нужно раскрыть модуль на промежутках. **Учитель:** Откуда берутся промежутки? **Ученик:** Модуль зависит от знака x: |x| = x при x ≥ 0 и |x| = −x при x < 0. Граница промежутков x = 0. **Учитель:** Что получится при x ≥ 0? **Ученик:** y = x · x − 3x = x² − 3x. **Учитель:** А при x < 0? **Ученик:** |x| = −x, поэтому x|x| = x · (−x) = −x², а −3|x| = 3x. Получается y = −x² + 3x. **Учитель:** Опиши правый кусок. **Ученик:** Парабола y = x² − 3x, ветви вверх. Вершина x₀ = 3/2 = 1,5, y₀ = 2,25 − 4,5 = −2,25. Нули 0 и 3. Точки (1; −2), (2; −2), (4; 4). **Учитель:** Теперь левый кусок на x < 0. Где вершина параболы y = −x² + 3x? **Ученик:** x₀ = −3/(2 · (−1)) = 1,5. Но это правее нуля, то есть вне промежутка x < 0. **Учитель:** Что это значит для графика слева? **Ученик:** На x < 0 функция возрастает и принимает отрицательные значения: (−1; −4), (−2; −10), приближается к (0; 0). **Учитель:** Сколько точек при m > 0? **Ученик:** Слева значения отрицательные, справа парабола уходит вверх: одна точка. **Учитель:** При m = 0? **Ученик:** |x|(x − 3) = 0, x = 0 или x = 3. Две точки. **Учитель:** При −2,25 < m < 0? **Ученик:** Справа две точки, слева одна: три. **Учитель:** При m = −2,25 и при m < −2,25? > **Если ученик ответит:** «График симметричный, как у y = x² − 3|x|, поэтому при m = −2,25 точек две справа и две слева». > **Учитель:** Какая формула у левого куска и где у неё вершина? > **Ученик:** y = −x² + 3x, вершина при x = 1,5, вне промежутка. Значит, левый кусок не симметричен правому: слева одна точка при каждом m < 0. **Ученик:** При m = −2,25: справа одна точка (вершина), слева одна: всего две. При m < −2,25: одна точка слева. **Учитель:** Ответ? **Ученик:** m = −2,25 и m = 0. **Для самостоятельного решения:** задача 3 домашней карточки. --- ### Задача 4. Дробь, прямая y = kx **Условие.** Постройте график функции y = (x³ − 4x)/(x − 2). Определите, при каких k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку. **Учитель:** Что мы видим и чем это отличается от задач 1–3? **Ученик:** Дробь, как в задаче 1. Но прямая y = kx, а не y = m: она проходит через начало координат и вращается. **Учитель:** Область определения? **Ученик:** x − 2 ≠ 0, то есть x ≠ 2. **Учитель:** Как упростить числитель? **Ученик:** Вынести x: x³ − 4x = x(x² − 4) = x(x − 2)(x + 2). После сокращения на (x − 2): y = x(x + 2) = x² + 2x при x ≠ 2. **Учитель:** Что выколото? **Ученик:** Точка с абсциссой 2: y(2) = 4 + 4 = 8, значит (2; 8). **Учитель:** Вершина и нули параболы? **Ученик:** x₀ = −2/2 = −1, y₀ = 1 − 2 = −1. Нули −2 и 0. **Учитель:** Какая точка лежит и на графике, и на каждой прямой y = kx? **Ученик:** Начало координат (0; 0): x = 0 в области определения, y(0) = 0, и прямая y = kx при x = 0 даёт 0. **Учитель:** Что тогда нужно, чтобы общая точка была ровно одна? **Ученик:** Чтобы других общих точек не было. **Учитель:** Как найти все общие точки? **Ученик:** Решить x² + 2x = kx. Переношу: x² + (2 − k)x = 0, то есть x(x + 2 − k) = 0. Корни x = 0 и x = k − 2. **Учитель:** Когда второго корня «нет»? **Ученик:** Первый случай: k − 2 = 0, то есть k = 2: оба корня совпали, прямая касается параболы в начале координат. Второй случай: k − 2 = 2, то есть k = 4: второй корень равен выколотой абсциссе. > **Если ученик ответит:** «Только k = 4, прямая проходит через выколотую точку». > **Учитель:** Что получится при k = 2? Реши уравнение. > **Ученик:** x² + 2x = 2x, x² = 0, единственный корень x = 0. Одна общая точка, значит k = 2 тоже подходит. **Учитель:** Ответ? **Ученик:** k = 2; k = 4. **Учитель:** Проверка? **Ученик:** k = 4: x² − 2x = 0, x = 0 или x = 2, но x = 2 выколот. Одна точка. **Для самостоятельного решения:** задача 4 домашней карточки. --- ### Задача 5. Дробь с модулем **Условие.** Постройте график функции y = (x² − 3|x|)/x. Определите, при каких m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку. **Учитель:** Что мы видим? **Ученик:** Дробь и модуль одновременно. Область определения x ≠ 0, а модуль надо раскрыть. **Учитель:** Как раскрываем и откуда берётся результат? **Ученик:** При x > 0: |x| = x, y = (x² − 3x)/x = x − 3. При x < 0: |x| = −x, y = (x² + 3x)/x = x + 3. **Учитель:** Как выглядит график? **Ученик:** Два луча. Левый y = x + 3 при x < 0 с выколотым концом (0; 3). Правый y = x − 3 при x > 0 с выколотым концом (0; −3). **Учитель:** Какие значения принимает левый луч и какие правый? **Ученик:** Левый принимает все y < 3, правый все y > −3. **Учитель:** Сколько точек при −3 < m < 3? **Ученик:** Оба луча дают значение m: две точки. **Учитель:** При m = 3 и m > 3? **Ученик:** Левый луч значения 3 не достигает (конец выколот), остаётся правый луч: одна точка. При m > 3 тоже одна, только правый. **Учитель:** А при m = −3 и m < −3? > **Если ученик ответит:** «Граничные m = ±3 не берём, ответ m < −3 или m > 3». > **Учитель:** Сколько общих точек у прямой y = 3? Реши уравнения для каждого луча. > **Ученик:** Левый: x + 3 = 3, x = 0, но x = 0 не входит. Правый: x − 3 = 3, x = 6. Значит, одна точка: m = 3 подходит. Так же m = −3: левый x = −6, правый x = 0 выколот, одна точка. **Учитель:** Ответ? **Ученик:** m ≤ −3 или m ≥ 3. **Учитель:** Можно ли решить быстрее? **Ученик:** Заметить, что это сдвинутые лучи: ответ читается по ординатам выколотых концов, границы входят в ответ. **Учитель:** По каким признакам узнаешь такое задание? **Ученик:** Модуль в числителе и x в знаменателе: после раскрытия получатся два луча с выколотыми концами на оси Oy. **Для самостоятельного решения:** задача 6 зачётного листа. --- ## Часть 3. Что откуда берётся (шпаргалка к диалогу) - Запрещённые значения x — из знаменателя исходной дроби, до сокращения. - Выколотая точка: абсцисса из знаменателя, ордината из сокращённой формулы. - Вершина параболы y = ax² + bx + c: x₀ = −b/(2a), y₀ = y(x₀). - Нули функции — корни уравнения y = 0 (теорема Виета или дискриминант). - Модуль: |a| = a при a ≥ 0 и |a| = −a при a < 0; промежутки задаёт нуль выражения под модулем. - Граничная точка куска: закрашена при ≤ и ≥, выколота при < и >; если на границе два значения, отмечают обе точки. - Особые m — уровни вершин, концов кусков и выколотых точек; их проверяют подстановкой. - Прямая y = kx проходит через (0; 0); особые k — касание и прямая через выколотую точку. --- ## Часть 4. План урока (индивидуальный, 60 минут) | Время | Этап | Что делаем | |---|---|---| | 0–5 | Вход | Устный опрос по теории: вершина параболы, выколотая точка, раскрытие модуля. Три-четыре вопроса из списка. | | 5–15 | Мини-теория | Ученик сам формулирует определение кусочной функции и шаги алгоритма. На доске простой пример y = (x² − 4)/(x − 2): область определения, сокращение, выколотая точка. | | 15–30 | Разбор в диалоге | Задачи 1 и 2 (трек A: 1 и 3). Учитель задаёт вопросы, ученик строит график на доске. | | 30–45 | Самостоятельно | Задача 3 или 5. Подсказки по лесенке: сначала вопрос, затем наводящий вопрос, затем прямая подсказка. Потом совместная проверка. | | 45–55 | Пятиминутка | Вариант А (трек A, B) или Б (трек C), 5–7 минут, самопроверка по ключу. | | 55–60 | Итог | Ученик называет признаки заданий, ловушки и значения параметров. Задание на дом. | Индивидуально: трек A — больше мелких вопросов в таблице точек; трек C — ученик сам называет алгоритм целиком, добавляется задача 4 (прямая y = kx) и вопрос «Можно ли решить быстрее?». --- ## Часть 5. План домашней работы | День | Задание | Время | |---|---|---| | 1 | Прочитать теорию, пройти интерактивный тест (10 вопросов) | 15 мин | | 2 | Задачи 1 и 2 домашней карточки, оформлять по памятке | 25 мин | | 3 | Тренажёр с новыми числами (5–6 заданий) и задача 3 карточки | 25 мин | | 4 | Задача 4 карточки, проверка по ключевым точкам, исправление ошибок | 20 мин | | Перед занятием | Уровень 1 зачётного листа (4 задания) без подсказок | 15 мин | Правило: сначала график и таблица точек, потом ответ; проверку по ключу делать только после решения.