# Графики функций (№22, основа — №11)

## Разбор в формате диалога «ученик — учитель»

**Участники:** Учитель и Ученик (9 класс, подготовка к ОГЭ, №22 часть 2, 2 балла).
**Как пользоваться:** сначала отвечай сам, потом сверяйся с диалогом. После каждой задачи есть похожая для самостоятельного решения (ответы в конце файла). Рисунки к задачам смотри в «Разборе 5 задач»: диалог объясняет, откуда что берётся, а график строится по таблице.
**Где мы в теме:** теория и устный опрос → тест → пятиминутка → этот разбор → тренажёры → памятка → зачётный лист → домашняя карточка.
**Задачи разбора:** 1. Раскрытие модуля, две параболы. 2. Дробь и выколотые точки. 3. Гипербола с модулем и прямая y = kx. 4. Кусочная функция. 5. Модуль трёхчлена и прямая y = kx.

---

# Общая часть. Как решается любое задание №22

**Учитель:** В №22 всегда одно и то же: дана функция с подвохом (модуль, дробь, две формулы) и прямая с параметром. Что у нас строится и что считается?

**Ученик:** Строится график. Потом прямая двигается, и мы считаем, в скольких точках она его пересекает.

**Учитель:** Верно. Прямая бывает двух видов. Какие?

**Ученик:** y = m, горизонтальная. И y = kx, она всегда проходит через начало координат и поворачивается.

**Учитель:** Алгоритм для всех пяти задач, фиксируем:
1. Записать область определения и раскрыть модули (получить формулы на промежутках).
2. Упростить каждую формулу, построить график по таблице, отметить выколотые и закрашенные точки.
3. Двигать прямую (y = m вверх, y = kx вокруг начала), считать общие точки.
4. Отдельно проверить особые значения: вершины, выколотые точки, концы промежутков.
5. Записать ответ, не забыв строгость неравенств.

**Учитель:** Какой шаг самый опасный?

**Ученик:** Четвёртый. Там легко потерять значение или взять лишнее.

**Учитель:** Да, на нём теряются баллы. Поэтому в каждой задаче ниже есть ветка с типичной ошибкой.

---

# Задача 1. Раскрытие модуля: две параболы

**Условие.** Постройте график функции y = x|x| − 2|x| − 4x. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

## Этап 1. Что мы видим

**Учитель:** Что мы видим?

**Ученик:** Функцию с модулем, к тому же умноженным на x. Прямая y = m горизонтальная. Нужно найти m, при которых общих точек ровно две.

**Учитель:** Что тут легко упустить?

**Ученик:** Что общих точек бывает одна, две или три в зависимости от m. Нужны именно «ровно две».

## Этап 2. Как мы решаем подобное

**Учитель:** Что делаем с модулем?

**Ученик:** Раскрываем отдельно для x ≥ 0 и для x < 0.

**Учитель:** Формулировка: |x| = x при x ≥ 0 и |x| = −x при x < 0. А что значит «общая точка графика и прямой y = m»?

**Ученик:** Это решение уравнения f(x) = m. Сколько решений, столько общих точек.

## Этап 3. По какому алгоритму

**Учитель:** Назови шаги до вычислений.

**Ученик:** Раскрыть модуль. Привести каждую формулу к виду параболы и найти вершину. Построить на своих промежутках. Двигать прямую снизу вверх. Проверить уровни вершин.

**Учитель:** Фиксируем алгоритм из общей части (шаги 1–5).

## Этап 4. Решаем по алгоритму

**Учитель:** Раскрываем модуль при x ≥ 0. Что получилось?

**Ученик:** y = x² − 2x − 4x = x² − 6x.

**Учитель:** Как найти вершину?

**Ученик:** Выделяю квадрат: (x − 3)² − 9. Вершина (3; −9), нули 0 и 6.

**Учитель:** Теперь x < 0.

**Ученик:** |x| = −x, значит y = −x² + 2x − 4x = −x² − 2x = −(x + 1)² + 1. Вершина (−1; 1), нули −2 и 0.

**Учитель:** Что проверяем у вершин?

**Ученик:** Что они лежат на своих промежутках. 3 ≥ 0 и −1 < 0, обе подходят.

> **Если ученик ответит:** строим обе параболы целиком.
> **Учитель:** Проверь: x = 4 по какой формуле считается? А что делает вторая парабола в точке x = 4? Её часть мы берём только при x < 0.

**Учитель:** Двигаем прямую y = m снизу вверх. Что видим?

**Ученик:** Ниже −9 прямая пересекает только левую часть: одна точка. На уровне −9 касается правой вершины и пересекает левую: две. От −9 до 1 три. На уровне 1 касается левой вершины и пересекает правую: две. Выше 1 одна.

**Учитель:** Что в ответ?

**Ученик:** m = −9 и m = 1.

## Этап 5. Проверка и ответ

**Учитель:** Как проверить?

**Ученик:** Подставить. m = 1: x² − 6x = 1 даёт корни разных знаков, подходит один положительный, плюс вершина (−1; 1). Две точки. m = −9: вершина (3; −9) и в левой части x² + 2x − 9 = 0 даёт один отрицательный корень. Две точки.

**Учитель:** Как записать ответ?

**Ученик:** m = −9; m = 1, и график с отмеченными вершинами.

## Этап 6. Перенос

**Учитель:** По каким признакам узнаешь такое задание?

**Ученик:** Есть модуль, график строится из частей парабол, прямая горизонтальная, нужно «ровно N точек».

**Самостоятельно.** y = x|x| − |x| − 5x, ровно две общие точки с y = m.

---

# Задача 2. Дробь и выколотые точки

**Условие.** Постройте график функции y = (x⁴ − 20x² + 64) / ((x − 2)(x + 4)). Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

## Этап 1. Что мы видим

**Учитель:** Что мы видим?

**Ученик:** Дробь. Сверху многочлен четвёртой степени, снизу две скобки. Нужно сократить и построить график, а потом найти m, при которых ровно одна общая точка.

**Учитель:** Что запомнить до сокращения?

**Ученик:** Область определения: x ≠ 2 и x ≠ −4.

## Этап 2. Как мы решаем подобное

**Учитель:** Как раскладывать числитель?

**Ученик:** Замена t = x². Получается t² − 20t + 64 = 0.

**Учитель:** Правило про область определения: дробь определена, когда знаменатель не равен нулю; сокращённая функция совпадает с исходной везде, кроме этих точек.

## Этап 3. По какому алгоритму

**Ученик:** Область определения. Разложить числитель. Сократить. Построить график. Выколоть точки. Двигать прямую.

**Учитель:** Фиксируем алгоритм из общей части.

## Этап 4. Решаем по алгоритму

**Учитель:** Корни уравнения для t?

**Ученик:** По теореме Виета: сумма 20, произведение 64. Это 4 и 16.

**Учитель:** Тогда числитель?

**Ученик:** (x² − 4)(x² − 16) = (x − 2)(x + 2)(x − 4)(x + 4).

**Учитель:** Сокращаем на (x − 2)(x + 4). Что осталось?

**Ученик:** y = (x + 2)(x − 4) = x² − 2x − 8 = (x − 1)² − 9. Вершина (1; −9), нули −2 и 4.

**Учитель:** Где выколотые точки и как найти их ординаты?

**Ученик:** При x = 2 и x = −4. Подставляю в сокращённую формулу: при x = 2 получаю −8, при x = −4 получаю 16.

> **Если ученик ответит:** подставляю в исходную дробь, получается 0/0.
> **Учитель:** Исходная дробь в этих точках не определена. Ординату берём из сокращённой формулы, это значение, которого «не хватает» графику.

**Учитель:** Как работает прямая y = m?

**Ученик:** Ниже −9 общих точек нет. На уровне −9 одна, вершина. Выше −9 две: x = 1 ± √(m + 9). Но одна из них может оказаться выколотой.

**Учитель:** Когда?

**Ученик:** Если корень равен 2 или −4. При m = −8 корни x = 2 и x = 0: первый выколот, остаётся одна. При m = 16 корни x = −4 и x = 6: тоже одна.

## Этап 5. Проверка и ответ

**Учитель:** Что проверяем?

**Ученик:** Что вершина не выколота: x = 1, это не 2 и не −4. Значит, m = −9 подходит.

**Ученик:** Ответ: m = −9; m = −8; m = 16.

## Этап 6. Перенос

**Учитель:** Признаки?

**Ученик:** Дробь с разложимым числителем, в ответе значения m «при которых ровно одна точка» — почти всегда нужно вспомнить про выколотые точки.

**Самостоятельно.** y = (x⁴ − 52x² + 576) / ((x − 4)(x + 6)), ровно одна общая точка с y = m.

---

# Задача 3. Гипербола с модулем и прямая y = kx

**Условие.** Постройте график функции y = (2|x| − 1) / (|x| − 2x²). Определите, при каких значениях k прямая y = kx не имеет с графиком ни одной общей точки. В ответ запишите наибольшее значение k.

## Этап 1. Что мы видим

**Ученик:** Дробь с модулем. Прямая y = kx проходит через начало координат. Нужно найти k, при которых общих точек нет, и выбрать наибольшее.

**Учитель:** Где ловушка условия?

**Ученик:** «Не имеет ни одной точки» и «наибольшее». Нужно записать одно число.

## Этап 2. Как мы решаем подобное

**Учитель:** Что известно про модуль и квадрат?

**Ученик:** x² = |x|², и |x| = x при x ≥ 0, |x| = −x при x < 0.

## Этап 3. По какому алгоритму

**Ученик:** Область определения. Разложить знаменатель. Сократить. Построить две ветви. Выколоть точки. Провести y = kx.

## Этап 4. Решаем по алгоритму

**Учитель:** Знаменатель?

**Ученик:** |x| − 2x² = |x|(1 − 2|x|). Не равен нулю: x ≠ 0 и x ≠ ±1/2.

**Учитель:** Числитель?

**Ученик:** 2|x| − 1 = −(1 − 2|x|). Сокращаю: y = −1/|x|.

**Учитель:** Как выглядит график?

**Ученик:** При x > 0: y = −1/x, IV четверть. При x < 0: y = 1/x, III четверть. Выколоты точки с x = ±1/2: y = −2, то есть (0,5; −2) и (−0,5; −2).

**Учитель:** Прямая y = kx. Сначала k = 0.

**Ученик:** Это ось Ox. График весь ниже оси, общих точек нет. k = 0 подходит.

**Учитель:** Теперь k > 0.

**Ученик:** Прямая идёт через I и III четверти, общая точка может быть только с левой ветвью. kx = 1/x, x² = 1/k, x = −1/√k, одна точка. Она выколота, когда x = −1/2, то есть k = 4. Тогда общих точек нет.

> **Если ученик ответит:** при k > 0 общая точка одна, значит, нет подходящих k.
> **Учитель:** А если единственная точка выколота? Что с ней?

**Ученик:** Не считается. Значит, k = 4 подходит. При k < 0 симметрично: k = −4.

## Этап 5. Проверка и ответ

**Ученик:** Прямая y = 4x проходит через (−0,5; −2): 4 · (−0,5) = −2. Эта точка выколота, других нет. Значения k: −4; 0; 4. Наибольшее равно 4.

## Этап 6. Перенос

**Ученик:** Признак: дробь с модулем, прямая через начало координат, вопрос про «нет общих точек».

**Самостоятельно.** y = (4|x| − 1) / (|x| − 4x²), наибольшее k, при котором нет общих точек с y = kx.

---

# Задача 4. Кусочная функция

**Условие.** Постройте график функции y = 3 − x при x < 1 и y = x² − 4x + 1 при x ≥ 1. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

## Этап 1. Что мы видим

**Ученик:** Функция задана двумя формулами. В точке x = 1 график разрывается. Прямая горизонтальная.

## Этап 2. Как мы решаем подобное

**Учитель:** Что с концами промежутков?

**Ученик:** При строгом неравенстве конец выколот, при нестрогом закрашен.

## Этап 3. По какому алгоритму

**Ученик:** Построить каждую формулу на своём промежутке. Найти ординаты концов. Двигать прямую. Проверить граничные значения.

## Этап 4. Решаем по алгоритму

**Учитель:** Что даёт первая формула?

**Ученик:** Прямая y = 3 − x при x < 1. При x = 1 получилось бы 2, но x < 1 строго: точка (1; 2) выколота. На этой части y > 2.

**Учитель:** Вторая?

**Ученик:** y = (x − 2)² − 3, вершина (2; −3), и 2 ≥ 1, она принадлежит графику. При x = 1: −2, точка (1; −2) закрашена.

**Учитель:** Двигаем прямую.

**Ученик:** Ниже −3 точек нет. На −3 одна: вершина. От −3 до −2 парабола даёт две точки (x = 2 ± √(m + 3) оба не меньше 1). Нужно проверить m = −2: корни 1 и 3, оба подходят, две точки. От −2 до 2 (включая 2) одна точка: правая ветвь параболы, а прямая такие значения не принимает. Выше 2 две: парабола и прямая.

> **Если ученик ответит:** m = 2 не подходит, там выколотая точка.
> **Учитель:** Что происходит при m = 2 с параболой? Подставь: (x − 2)² − 3 = 2.

**Ученик:** Корни 2 ± √5; подходит x = 2 + √5, один. А выколотая точка не считается. Значит, одна общая точка, m = 2 подходит.

## Этап 5. Проверка и ответ

**Ученик:** m = −2 не подходит (две точки), m = 2 подходит (одна). Ответ: m = −3 и −2 < m ≤ 2.

## Этап 6. Перенос

**Ученик:** Признаки: две формулы с разными промежутками, нужно следить за строгостью неравенств.

**Самостоятельно.** y = 7 − x при x < 0 и y = x² − 4x + 3 при x ≥ 0, ровно одна общая точка с y = m.

---

# Задача 5. Модуль трёхчлена и прямая y = kx

**Условие.** Постройте график функции y = |x² − 4x|. Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

## Этап 1. Что мы видим

**Ученик:** Модуль всего выражения: часть параболы под осью Ox отражается вверх. Прямая через начало координат.

**Учитель:** Что тут особенного про начало координат?

**Ученик:** Точка O(0; 0) принадлежит и графику, и любой такой прямой. Значит, общая точка есть всегда. Нужно, чтобы других не было.

## Этап 2. Как мы решаем подобное

**Учитель:** Правило для y = |f(x)|: часть графика над осью остаётся, часть под осью отражается вверх.

## Этап 3. По какому алгоритму

**Ученик:** Построить y = x² − 4x, отразить часть под осью. Решить f(x) = kx на каждом участке. Отобрать допустимые корни. Посчитать точки.

## Этап 4. Решаем по алгоритму

**Учитель:** Парабола y = x² − 4x?

**Ученик:** Нули 0 и 4, вершина (2; −4). При 0 < x < 4 она ниже оси, эту часть отражаем: y = −x² + 4x, вершина (2; 4).

**Учитель:** Решаем уравнение на участках x ≤ 0 и x ≥ 4.

**Ученик:** x² − 4x = kx, x(x − 4 − k) = 0, значит x = 0 или x = 4 + k. Корень x = 4 + k допустим, если k + 4 < 0 (левая часть) или k + 4 ≥ 4, то есть k ≥ 0 (правая часть).

**Учитель:** Теперь 0 < x < 4.

**Ученик:** −x² + 4x = kx, x = 4 − k. Допустим при 0 < 4 − k < 4, то есть 0 < k < 4.

**Учитель:** Считаем.

**Ученик:** k < −4: две точки. −4 ≤ k < 0: одна, только O. k = 0: две, O и (4; 0). 0 < k < 4: три. k ≥ 4: две.

> **Если ученик ответит:** k = 0 подходит, там одна точка.
> **Учитель:** Подставь k = 0. Это ось Ox. Где она пересекает график?

**Ученик:** В точках (0; 0) и (4; 0). Две. Значит, k = 0 не подходит.

## Этап 5. Проверка и ответ

**Ученик:** k = −4: x² − 4x = −4x даёт x = 0, других корней нет, одна точка. Ответ: −4 ≤ k < 0.

## Этап 6. Перенос

**Ученик:** Признаки: модуль трёхчлена, прямая y = kx через начало координат.

**Самостоятельно.** y = |x² − 6x|, ровно одна общая точка с y = kx.

---

# Ответы к задачам для самостоятельного решения

1. y = x|x| − |x| − 5x: m = −9; m = 4.
2. y = (x⁴ − 52x² + 576) / ((x − 4)(x + 6)): m = −25; m = −16; m = 24.
3. y = (4|x| − 1) / (|x| − 4x²): k = −16; k = 0; k = 16, наибольшее 16.
4. y = 7 − x (x < 0), y = x² − 4x + 3 (x ≥ 0): m = −1 и 3 < m ≤ 7.
5. y = |x² − 6x|: −6 ≤ k < 0.

---

# План урока на 60 минут (индивидуальное занятие)

1. Разминка и проверка ДЗ, 5 мин. Устно: как раскрыть модуль, что такое выколотая точка.
2. Возврат к раннему материалу, 10 мин. Парабола: вершина, нули (2 задачи, например y = x² − 6x + 5).
3. Новая тема, 15 мин. Разобрать задачу 1 или 2 по диалогу; ученик сам называет алгоритм.
4. Отработка, 18 мин. Серия: самостоятельно из этого файла, от копии разобранной до новой.
5. Смешанная практика, 8 мин. Три задачи из разных тем (в том числе №11).
6. Итог и ДЗ, 4 мин.

**Критерий освоения:** ученик строит график с модулем или дробью и находит все значения параметра, 3 из 4 верно, с проверкой граничных значений.
**Точка диагностики:** задача 2 или 4; если не взял, остаться на ней и вернуться к выколотым точкам.

# План домашнего задания

Карточка из 4 задач (ответы и ключевые точки проверки в конце карточки). Первые два дня: задачи 1–2; потом 3–4. Для трека C: все четыре; для A и B: №11 (соответствие графиков и формул) и тренажёр «новые числа».