# Задачи на движение (задание 21)

## Разбор в формате диалога «ученик — учитель»

**Участники:** Учитель и Ученик (9 класс, подготовка к ОГЭ, часть 2, задание 21).
**Как пользоваться:** сначала отвечай сам, потом сверяйся с диалогом. В конце — задача для самостоятельного решения.
**Где мы в теме:** теория и устный опрос → тест → пятиминутка → этот разбор → тренажёры → зачётный лист → домашняя карточка.

**Задача.** Моторная лодка прошла от пристани А до пристани В по течению реки и вернулась обратно. Расстояние между пристанями 45 км, скорость течения 3 км/ч. В пункте В лодка стояла 1 час, всё путешествие заняло 9 часов. Найдите собственную скорость лодки.

---

## Часть 1. Разминка (устно)

**Учитель:** Лодка идёт со скоростью 15 км/ч. Сколько километров она пройдёт за 2 часа?

**Ученик:** 30.

**Учитель:** Верно. Какой формулой ты пользовался?

**Ученик:** Путь равен скорости, умноженной на время. S = v·t.

**Учитель:** Точно. Выразим из неё время. Чему равно t?

**Ученик:** t = S : v. Путь делим на скорость.

**Учитель:** Сколько часов в 40 минутах?

**Ученик:** 40/60, то есть 2/3 часа.

**Учитель:** Верно, минуты делим на 60. Теперь река. Собственная скорость лодки 15 км/ч, скорость течения 3 км/ч. С какой скоростью лодка идёт по течению?

**Ученик:** 18. Течение помогает, значит прибавляем.

**Учитель:** Скорость по течению равна сумме собственной скорости лодки и скорости течения. А против течения?

**Ученик:** 15 − 3 = 12. Течение мешает, вычитаем.

---

## Часть 2. Разбор задачи

### Этап 1. Что мы видим

**Учитель:** Прочитай условие. Что мы видим?

**Ученик:** Задача на движение по реке, это задание 21. Дано: расстояние 45 км, течение 3 км/ч, стоянка 1 час, всё путешествие 9 часов. Найти собственную скорость лодки.

**Учитель:** Хорошо, ты сразу разделил «дано» и «найти». А что в условии может сбить с толку?

**Ученик:** Наверное, стоянка. И что 9 часов — это всё путешествие.

**Учитель:** Верно, ты заметил ловушку. Единицы тут согласованы: километры, км/ч, часы. Пересчитывать ничего не нужно.

> **Если ученик ответит:** «Лодка двигалась 9 часов».
> **Учитель:** Лодка стояла в пункте В 1 час. Сколько часов она при этом двигалась?

### Этап 2. Как мы решаем подобное

**Учитель:** С какими задачами это похоже?

**Ученик:** С задачами про машины. Только тут скорость разная туда и обратно.

**Учитель:** Какие скорости у лодки на пути туда и обратно? Обозначь собственную скорость за x.

**Ученик:** Туда, по течению, x + 3. Обратно, против течения, x − 3.

**Учитель:** Что ты можешь сказать про число x?

**Ученик:** Оно больше 3.

**Учитель:** Почему?

**Ученик:** Если x меньше 3, скорость против течения будет отрицательной. А если равна 3, то нулевой, и лодка не вернётся.

**Учитель:** Верно. Запомним правило: скорость по течению равна v + u, скорость против течения равна v − u, где v — собственная скорость, u — скорость течения, и v > u. Время находим по формуле t = S : v.

### Этап 3. По какому алгоритму

**Учитель:** Назови шаги решения, прежде чем считать.

**Ученик:** Сначала обозначить неизвестное. Потом выразить скорости. Потом время. Потом уравнение. Решить. И проверить.

**Учитель:** Почти всё. Давай запишем аккуратно, чтобы это работало для любой задачи на движение:

1. Выписать данные, привести единицы, отметить ловушки.
2. Обозначить неизвестное через x, записать ограничение на x.
3. Выразить через x остальные скорости и время (t = S : v).
4. Составить уравнение: найти, что равно чему (сумма или разность времён).
5. Решить уравнение, отобрать корень по смыслу задачи.
6. Проверить подстановкой в условие, записать ответ.

### Этап 4. Решаем по алгоритму

**Учитель:** Шаг 1 у нас сделан. Шаг 2: что обозначим за x и что записать про x?

**Ученик:** Пусть x км/ч — собственная скорость лодки, x > 3.

**Учитель:** Шаг 3. Чему равно время движения по течению и против течения?

**Ученик:** По течению 45/(x + 3) часов, против течения 45/(x − 3) часов.

**Учитель:** Верно. Шаг 4. Сколько часов лодка двигалась всего?

**Ученик:** Девять часов минус час стоянки, то есть 8 часов.

**Учитель:** Теперь запиши уравнение.

**Ученик:** 45/(x + 3) + 45/(x − 3) = 8.

> **Если ученик ответит:** 45/(x + 3) + 45/(x − 3) = 9.
> **Учитель:** Из этих 9 часов лодка стояла один час. Входит ли стоянка в время движения?

**Учитель:** Как избавиться от дробей?

**Ученик:** Умножить обе части на (x + 3)(x − 3). Получится 45(x − 3) + 45(x + 3) = 8(x² − 9).

**Учитель:** Раскрой скобки и приведи подобные.

**Ученик:** 45x − 135 + 45x + 135 = 8x² − 72. Слева 90x. Значит, 90x = 8x² − 72, то есть 8x² − 90x − 72 = 0. Можно сократить на 2: 4x² − 45x − 36 = 0.

**Учитель:** Верно, ты заметил, что можно сократить. Найди дискриминант.

**Ученик:** D = 45² + 4·4·36 = 2025 + 576 = 2601. Корень из 2601 — 51.

**Учитель:** Проверь: чему равно 51 в квадрате?

**Ученик:** 2601. Верно. x = (45 ± 51) : 8. Получается 12 или −0,75.

**Учитель:** Шаг 5, отбор корня. Какой из двух подходит?

**Ученик:** 12.

> **Если ученик ответит:** подходит −0,75.
> **Учитель:** Какое ограничение мы записали на x в начале? Может ли скорость быть отрицательной?

### Этап 5. Проверка и ответ

**Учитель:** Как проверить, что ответ 12 правильный?

**Ученик:** Подставить в условие. По течению скорость 15, время 45 : 15 = 3 часа. Против течения скорость 9, время 45 : 9 = 5 часов. Плюс час стоянки: 3 + 1 + 5 = 9 часов. Сходится.

**Учитель:** Отлично, проверка полная. Как записать ответ в решении на бланке?

**Ученик:** Написать «Ответ: 12 км/ч» в конце. И не забыть написать, что −0,75 не подходит.

**Учитель:** Верно. Решение целиком записывают на бланке ответов № 2, а в конце пишут ответ с единицами.

### Этап 6. Перенос

**Учитель:** По каким признакам ты в следующий раз узнаешь такое задание?

**Ученик:** В условии есть «по течению» и «против течения». И собственная скорость. Если есть стоянка, её вычитаем из общего времени.

**Учитель:** Хорошо. Реши самостоятельно похожую задачу.

**Задача для самостоятельного решения.** Катер прошёл 60 км по течению реки и 60 км против течения, затратив на весь путь 9 часов. Скорость течения 5 км/ч. Найдите собственную скорость катера.

---

*Ответ для учителя: 15 км/ч. Уравнение 60/(x + 5) + 60/(x − 5) = 9, откуда 3x² − 40x − 75 = 0, D = 2500 = 50², корни 15 и −5/3.*