ДИАГНОСТИКА · 7 КЛАСС · АЛГЕБРА Разбор заданий в формате диалога «ученик — учитель» Файл для печати. lili.math ====================================================================== УРОВЕНЬ 1. РАЗМИНКА (задания 1–10) ====================================================================== ЗАДАНИЕ 1. Вычисли: 3² + 4². Ученик: Тут просто посчитать? Учитель: Да, но смотри, что за чем идёт. Возведение в степень — это действие первой ступени, оно выполняется раньше сложения. Поэтому 3² = 3 · 3 = 9, а 4² = 4 · 4 = 16. Только теперь складываем: 9 + 16 = 25. Ответ: 25. ЗАДАНИЕ 2. Упрости: a⁵ · a³. Ученик: Что значит «упрости»? Учитель: Записать короче, одной степенью. Смотри на основание: у обеих степеней оно одинаковое — a. При умножении степеней с одинаковым основанием основание оставляем, а показатели СКЛАДЫВАЕМ: a⁵ · a³ = a⁵⁺³ = a⁸. Почему так? Распиши: a⁵ — это пять множителей a, a³ — три множителя. Всего получится восемь множителей a, то есть a⁸. Ответ: a⁸. ЗАДАНИЕ 3. Упрости: a⁸ : a⁶. Ученик: А при делении что делаем? Учитель: Тоже смотрим на основание — оно одинаковое. При делении показатели ВЫЧИТАЮТСЯ: a⁸ : a⁶ = a⁸⁻⁶ = a². Проверим словами: в числителе восемь множителей a, в знаменателе шесть. Шесть сокращаются, остаются два. Ответ: a². ЗАДАНИЕ 4. Раскрой скобки: (a − 3)(a + 5). Ученик: Как скобку на скобку умножать? Учитель: Каждое слагаемое первой скобки умножаем на каждое слагаемое второй. Получается четыре произведения: a · a = a² a · 5 = 5a −3 · a = −3a −3 · 5 = −15 Теперь собираем: a² + 5a − 3a − 15. Приводим подобные: 5a − 3a = 2a. Итого: a² + 2a − 15. Проверь на числе: при a = 1 левая часть (1−3)(1+5) = = (−2) · 6 = −12, правая: 1 + 2 − 15 = −12. Сошлось. Ответ: a² + 2a − 15. ЗАДАНИЕ 5. Раскрой скобки: (x + 4)². Ученик: Можно просто (x + 4)(x + 4) расписать? Учитель: Можно! Но есть формула короче — квадрат суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b². То есть квадрат первого, плюс удвоенное произведение, плюс квадрат второго. Здесь a = x, b = 4: x² + 2 · x · 4 + 4² = x² + 8x + 16. Частая ошибка — забыть удвоенное произведение и написать x² + 16. Ответ: x² + 8x + 16. ЗАДАНИЕ 6. Реши уравнение: 5x − 12 = 3x + 8. Ученик: Что первым шагом? Учитель: Собираем все слагаемые с x слева, а числа — справа. Переносим 3x влево: при переносе через знак «=» знак меняется на противоположный. 5x − 3x − 12 = 8 2x − 12 = 8 Теперь −12 переносим вправо: 2x = 8 + 12 2x = 20 x = 10. Проверка: 5 · 10 − 12 = 38 и 3 · 10 + 8 = 38. Верно. Ответ: x = 10. ЗАДАНИЕ 7. Найди значение выражения 2x − 3 при x = 5. Ученик: Просто подставить 5? Учитель: Да. Значение выражения — это его числовой результат после подстановки. 2 · 5 − 3 = 10 − 3 = 7. Ответ: 7. ЗАДАНИЕ 8. Приведи подобные: 3a + 5b − a + 2b. Ученик: А что такое подобные? Учитель: Слагаемые с одинаковой буквенной частью. 3a и −a — подобные, 5b и 2b — подобные. Складываем их отдельно, буквенная часть не меняется: 3a − a = 2a 5b + 2b = 7b Итого: 2a + 7b. Два разных «вида» букв между собой складывать нельзя — 2a и 7b остаются разными слагаемыми. Ответ: 2a + 7b. ЗАДАНИЕ 9. Раскрой скобки: −2(x − 4). Ученик: Минус перед скобкой меняет знаки? Учитель: Здесь −2 — множитель, а не просто минус. Умножаем −2 на КАЖДОЕ слагаемое внутри: −2 · x = −2x −2 · (−4) = +8 Итого: −2x + 8. Обрати внимание: минус на минус даёт плюс — это самое важное место в этом задании. Ответ: −2x + 8. ЗАДАНИЕ 10. Найди значение функции y = 2x + 1 при x = 3. Ученик: Это как задание 7? Учитель: Совершенно верно, только формула называется «функция». Подставляем x = 3: y = 2 · 3 + 1 = 7. Запомни пару: x = 3, y = 7 — это точка (3; 7) на графике этой функции. Ответ: y = 7. ====================================================================== УРОВЕНЬ 2. ИСПЫТАНИЕ (задания 11–20) ====================================================================== ЗАДАНИЕ 11. Упрости и найди значение выражения 3(a − 4) − 2(a + 5) + 4a при a = −2. Ученик: Сначала подставить −2 или сначала упростить? Учитель: Почти всегда выгоднее сначала упростить, а подставить в конце — меньше счёта и меньше шансов ошибиться. Раскрываем скобки: 3(a − 4) = 3a − 12 −2(a + 5) = −2a − 10 + 4a — как есть. Собираем: 3a − 12 − 2a − 10 + 4a = (3a − 2a + 4a) + (−12 − 10) = 5a − 22. Теперь подставляем a = −2: 5 · (−2) − 22 = −10 − 22 = −32. Ответ: −32. ЗАДАНИЕ 12. Реши уравнение: 2(x − 3) = 5x + 9. Ученик: Начну с раскрытия скобки? Учитель: Правильно. 2(x − 3) = 2x − 6. Уравнение становится: 2x − 6 = 5x + 9. Переносим: с x — влево, числа — вправо: 2x − 5x = 9 + 6 −3x = 15 x = −5. Проверка: 2(−5 − 3) = 2 · (−8) = −16; 5 · (−5) + 9 = −25 + 9 = −16. Сошлось. Ответ: x = −5. ЗАДАНИЕ 13. Разложи на множители: x² − 25. Ученик: Это какой-то частный случай? Учитель: Да, это разность квадратов: a² − b² = (a − b)(a + b). Здесь a = x, b = 5, ведь 25 = 5². Значит: x² − 25 = (x − 5)(x + 5). Проверь, умножив обратно: (x − 5)(x + 5) = x² + 5x − 5x − 25 = x² − 25. Ответ: (x − 5)(x + 5). ЗАДАНИЕ 14. Разложи на множители: a² + 6a + 9. Ученик: Тут плюс, не разность. С чего начать? Учитель: Посмотрим, не полный ли это квадрат: a² + 2ab + b² = (a + b)². У нас a² + 6a + 9. Если b = 3, то 2ab = 2 · a · 3 = 6a — подходит!, и b² = 9 — тоже подходит. Значит: a² + 6a + 9 = (a + 3)². Хитрость: сначала проверяй «крайние» члены (квадраты), а потом — удвоенное произведение. Ответ: (a + 3)². ЗАДАНИЕ 15. Реши систему: x + y = 10 и x − y = 4. Ученик: Два уравнения сразу — как их совместить? Учитель: Сложи их почленно. Левые части складываем слева, правые — справа: (x + y) + (x − y) = 10 + 4 2x = 14 x = 7. Подставляем x = 7 в первое уравнение: 7 + y = 10, значит y = 3. Проверка во ВТОРОМ уравнении: 7 − 3 = 4 — верно. Ответ: x = 7, y = 3. ЗАДАНИЕ 16. График функции y = 2x − 3. При каком x значение y равно 7? Ученик: Надо рисовать график? Учитель: Не обязательно. «График» здесь — слово-обманка: нам нужна только точка, где y = 7. Подставляем: 7 = 2x − 3. Решаем: 2x = 10, x = 5. Если нарисуешь график, увидишь: прямая пересекает горизонталь y = 7 ровно в точке x = 5. Ответ: x = 5. ЗАДАНИЕ 17. Вычисли: (2³)². Ученик: Сначала внутри или снаружи? Учитель: Любой порядок даст тот же ответ, но посчитаем оба. По определению: 2³ = 8, а 8² = 64. По правилу «степень в степени»: показатели перемножаются — (2³)² = 2³·² = 2⁶ = 64. Запомни правило: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ — оно экономит счёт. Ответ: 64. ЗАДАНИЕ 18. Упрости: (a + b)² − (a − b)². Ученик: Тут две формулы сразу. Учитель: Раскрываем обе: (a + b)² = a² + 2ab + b² (a − b)² = a² − 2ab + b² Вычитаем — внимательно со скобкой: a² + 2ab + b² − a² + 2ab − b². Сокращается a² с −a², b² с −b². Остаётся 2ab + 2ab = 4ab. Красивый факт: разность квадратов суммы и разности всегда равна четырёхкратному произведению. Ответ: 4ab. ЗАДАНИЕ 19. Реши уравнение: 3x² = 27. Ученик: Делим на 3? Учитель: Да: x² = 9. А теперь главное: у уравнения x² = 9 ДВА корня — x = 3 и x = −3, потому что и 3² = 9, и (−3)² = 9. Забыть минусовый корень — классическая ошибка. Ответ: x = 3 и x = −3. ЗАДАНИЕ 20. Найди значение выражения 5a − 2b при a = 3, b = −1. Ученик: Опять подстановка? Учитель: Да, но с ловушкой: 5 · 3 − 2 · (−1). Минус на минус даёт плюс, поэтому −2 · (−1) = +2. Итого 15 + 2 = 17. Ответ: 17. ====================================================================== УРОВЕНЬ 3. ВЫЗОВ (задания 21–25) ====================================================================== ЗАДАНИЕ 21. Сумма двух чисел равна 45. Если первое число умножить на 3, а второе — на 2, то сумма произведений равна 110. Найди эти числа. Ученик: Как из слов сделать уравнение? Учитель: Обозначь неизвестное буквой. Пусть первое число — x. Тогда второе — 45 − x (потому что их сумма 45). Теперь переводим второе условие: «первое умножили на 3» — это 3x, «второе на 2» — это 2(45 − x), а их сумма 110: 3x + 2(45 − x) = 110 3x + 90 − 2x = 110 x + 90 = 110 x = 20. Второе число: 45 − 20 = 25. Проверка: 3 · 20 + 2 · 25 = 60 + 50 = 110. Ответ: 20 и 25. ЗАДАНИЕ 22. Докажи тождество: (a + b)² − (a − b)² = 4ab. Ученик: Можно подставить числа? Учитель: Подставить числа — это проверить на примерах, а не доказать. Тождество должно выполняться ПРИ ВСЕХ значениях a и b. Доказательство: раскрываем левую часть по формулам сокращённого умножения: (a + b)² − (a − b)² = = (a² + 2ab + b²) − (a² − 2ab + b²) = = a² + 2ab + b² − a² + 2ab − b² = = 4ab. Левая часть превратилась в правую при любых a и b — тождество доказано. ЗАДАНИЕ 23. Реши уравнение: |2x − 6| = 10. Ученик: Что делать с модулем? Учитель: Модуль равен 10, когда выражение внутри равно 10 или −10. Отсюда ДВА уравнения: 1) 2x − 6 = 10 → 2x = 16 → x = 8 2) 2x − 6 = −10 → 2x = −4 → x = −2 Проверка: |2·8 − 6| = |10| = 10; |2·(−2) − 6| = |−10| = 10. Оба подходят. Ответ: x = 8 и x = −2. ЗАДАНИЕ 24. Разложи на множители: 4x² − 9y². Ученик: Тут нет готовых квадратов? Учитель: Есть, просто спрятанные. Смотри: 4x² = (2x)² и 9y² = (3y)². Значит это разность квадратов с a = 2x и b = 3y: 4x² − 9y² = (2x − 3y)(2x + 3y). Хитрость: сначала переписывай каждое слагаемое как «что-то в квадрате», и формула сразу видна. Ответ: (2x − 3y)(2x + 3y). ЗАДАНИЕ 25. Докажи, что значение выражения (n + 3)² − (n − 3)² делится на 12 для любого натурального n. Ученик: Можно проверить n = 1, 2, 3? Учитель: Проверка на примерах не доказательство: вдруг на каком-то другом n «сломается»? Доказываем для всех n сразу — упрощаем выражение: (n + 3)² − (n − 3)² = = (n² + 6n + 9) − (n² − 6n + 9) = = n² + 6n + 9 − n² + 6n − 9 = = 12n. Получили 12n. При любом натуральном n это 12, умноженное на целое число, а такое число всегда делится на 12. Что и требовалось доказать. Заметь: мы даже не решали уравнения — просто преобразовали выражение. ====================================================================== КОНЕЦ РАЗБОРА · 7 КЛАСС · АЛГЕБРА Проверь себя: если больше двух ошибок на уровне «Разминка» — начнём с повторения базы. Если ошибки только в «Вызове» — база крепкая, пойдём дальше по программе.