ДИАГНОСТИКА · 6 КЛАСС
Разбор заданий в формате диалога «ученик — учитель»
Файл для печати. lili.math


======================================================================
УРОВЕНЬ 1. РАЗМИНКА (задания 1–10)
======================================================================

ЗАДАНИЕ 1. Сократи дробь: 12/18.

Ученик: Что значит «сократить»?
Учитель: Разделить числитель и знаменатель на одно и то же число, чтобы
дробь стала проще, а значение не изменилось. Ищем число, которое делит
и 12, и 18. Это 6 (подойдёт и 2 или 3, но сразу взять наибольший — быстрее).
12 : 6 = 2, 18 : 6 = 3.
Ответ: 2/3.

ЗАДАНИЕ 2. Сравни: 3/7 и 5/9.

Ученик: Знаменатели разные, как сравнивать?
Учитель: Приведём дроби к общему знаменателю. Удобный — 63, потому что
63 = 7 · 9 делится и на 7, и на 9:
3/7 = 27/63 (числитель и знаменатель умножили на 9),
5/9 = 35/63 (умножили на 7).
Теперь сравниваем числители: 27 < 35, значит 27/63 < 35/63.
Ответ: 3/7 < 5/9.

ЗАДАНИЕ 3. Вычисли: 2/5 + 1/5.

Ученик: Просто сложить числители?
Учитель: Да, потому что знаменатели одинаковые — это «пятые» части, их
можно складывать напрямую: 2/5 + 1/5 = (2 + 1)/5 = 3/5.
Ответ: 3/5.

ЗАДАНИЕ 4. Вычисли: 3/4 − 1/4.

Ученик: Аналогично: 3 − 1 = 2, ответ 2/4?
Учитель: Почти! 2/4 — правильное значение, но дробь не сокращена. Числитель
и знаменатель делятся на 2: 2/4 = 1/2. В ответе всегда даём сокращённую дробь.
Ответ: 1/2.

ЗАДАНИЕ 5. Найди 25% от числа 240.

Ученик: 25% — это сколько в дроби?
Учитель: 25% = 25/100 = 1/4, то есть четверть. Четверть от 240 — это
240 : 4 = 60. Запомни: 25% — четверть, 50% — половина, 10% — десятая часть.
Ответ: 60.

ЗАДАНИЕ 6. Найди 1% от числа 700.

Ученик: 1% — это сотая?
Учитель: Верно: 1% = 1/100. Значит, 1% от 700 — это 700 : 100 = 7.
Ответ: 7.

ЗАДАНИЕ 7. Переведи: 3/8 литра = … мл.

Ученик: Сколько мл в литре?
Учитель: 1000. Значит, нужно найти 3/8 от 1000. Сначала восьмая часть:
1000 : 8 = 125. Теперь три таких части: 125 · 3 = 375.
Ответ: 375 мл.

ЗАДАНИЕ 8. Реши уравнение: x − 3/8 = 5/12.

Ученик: x — уменьшаемое?
Учитель: Да. Чтобы найти уменьшаемое, складываем вычитаемое и разность:
x = 5/12 + 3/8. Знаменатели 12 и 8, общий — 24:
5/12 = 10/24, 3/8 = 9/24.
x = 10/24 + 9/24 = 19/24. Дробь сокращать нечего.
Ответ: x = 19/24.

ЗАДАНИЕ 9. Запиши в виде десятичной дроби: 7/10.

Ученик: Это 0,7?
Учитель: Да. Знаменатель 10 — одна цифра после запятой: 7/10 = 0,7.
Аналогично 7/100 = 0,07, а 7/1000 = 0,007 — следи за нулями.
Ответ: 0,7.

ЗАДАНИЕ 10. Найди модуль числа: |−7,5|.

Ученик: Модуль — это просто без минуса?
Учитель: Формально — расстояние от числа до нуля на числовой прямой,
оно всегда неотрицательное. Поэтому |−7,5| = 7,5 и |7,5| = 7,5 тоже.
Ответ: 7,5.


======================================================================
УРОВЕНЬ 2. ИСПЫТАНИЕ (задания 11–20)
======================================================================

ЗАДАНИЕ 11. Вычисли: 5/6 · 3/10.

Ученик: Перемножаем числители и знаменатели?
Учитель: Да: (5 · 3)/(6 · 10) = 15/60. Теперь сократи. Умный способ —
сокращать ДО умножения: 5 сокращается с 10 (остаётся 1 и 2), 3 сокращается
с 6 (остаётся 1 и 2): (1 · 1)/(2 · 2) = 1/4. Проверка: 15/60 = 1/4. Сошлось.
Ответ: 1/4.

ЗАДАНИЕ 12. Вычисли: 7/8 : 14/16.

Ученик: Деление дробей — это как?
Учитель: Делим на дробь = умножаем на перевернутую: 7/8 : 14/16 = 7/8 · 16/14.
Сокращаем: 7 с 14 (остаются 1 и 2), 16 с 8 (остаются 2 и 1):
(1 · 2)/(1 · 2) = 1. Кстати, заметила? 14/16 = 7/8 — мы делили число само
на себя.
Ответ: 1.

ЗАДАНИЕ 13. Ведьма варит зелье: 3/8 л сока и 5/8 л росы. Сколько мл всего?

Ученик: Складываем: 3/8 + 5/8 = 8/8 = 1 литр. Это 1000 мл.
Учитель: Совершенно верно! 8/8 — это целое, то есть один литр, а литр —
это 1000 мл. Обрати внимание: сложили числители, знаменатель остался.
Ответ: 1000 мл.

ЗАДАНИЕ 14. Крольчонок съел 2/5 пирога, брат — 1/3 остатка. Какая часть осталась?

Ученик: Брат съел 1/3 от всего пирога?
Учитель: Нет, внимательно: 1/3 ОСТАТКА. После крольчонка осталось
1 − 2/5 = 3/5. Брат съел треть от этих трёх пятых: 3/5 · 1/3 = 1/5.
Остаток: 3/5 − 1/5 = 2/5.
Ответ: 2/5.

ЗАДАНИЕ 15. Товар стоил 800 руб. Цену снизили на 10%. Сколько стоит теперь?

Ученик: 10% от 800 — это 80. Значит 800 − 80 = 720.
Учитель: Верно. Или короче: новая цена — 90% от старой, 800 · 0,9 = 720.
Ответ: 720 руб.

ЗАДАНИЕ 16. Реши уравнение: 2/3 · x = 12.

Ученик: x — неизвестный множитель?
Учитель: Да: x = 12 : 2/3. Делим на дробь — умножаем на перевернутую:
x = 12 · 3/2 = 36/2 = 18.
Ответ: x = 18.

ЗАДАНИЕ 17. Отношение двух чисел 3 : 5, их сумма 72. Найди числа.

Ученик: Числа 3 и 5? Но их сумма 8, а не 72.
Учитель: Отношение 3 : 5 значит, что числа — это 3 и 5 ОДИНАКОВЫХ частей.
Пусть одна часть — k. Тогда числа 3k и 5k, а 3k + 5k = 8k = 72, значит
k = 9. Числа: 3 · 9 = 27 и 5 · 9 = 45. Проверка: 27 + 45 = 72, 27 : 45 = 3 : 5.
Ответ: 27 и 45.

ЗАДАНИЕ 18. Переведи 0,25 в обыкновенную дробь.

Ученик: 0,25 — это 25 сотых: 25/100. Сокращаем на 25: 1/4.
Учитель: Именно так. И полезно помнить наизусть: 0,25 = 1/4, 0,5 = 1/2,
0,75 = 3/4, 0,1 = 1/10.
Ответ: 1/4.

ЗАДАНИЕ 19. Сколько градусов в 2/9 развёрнутого угла?

Ученик: Развёрнутый угол — это 180°?
Учитель: Да. Найди 2/9 от 180: сначала 180 : 9 = 20, потом 20 · 2 = 40.
Ответ: 40°.

ЗАДАНИЕ 20. Найди среднее арифметическое чисел: 4, 7, 9, 12.

Ученик: Складываем все и делим на их количество?
Учитель: Да: (4 + 7 + 9 + 12) : 4 = 32 : 4 = 8. Смысл среднего такой: если
бы все четыре числа были одинаковыми, но сумма та же — они бы все были 8.
Ответ: 8.


======================================================================
УРОВЕНЬ 3. ВЫЗОВ (задания 21–25)
======================================================================

ЗАДАНИЕ 21. Найди число, если 25% от него равны (0,6 : 3/5 + 1/4) · 8 − 2.

Ученик: Сначала всё выражение посчитать?
Учитель: Да, действия по порядку. В скобках: 0,6 : 3/5 = 0,6 · 5/3 = 1.
Потом 1 + 1/4 = 5/4. Теперь за скобкой: 5/4 · 8 = 10, и 10 − 2 = 8.
Значит, 25% от искомого числа — это 8. А 25% — это четверть, значит
число равно 8 · 4 = 32. Проверка: четверть от 32 — это 32 : 4 = 8. ✔
Ответ: 32.

ЗАДАНИЕ 22. Товар стоил 800 руб. Сначала цену снизили на 10%, потом повысили на 10%. Сколько стал стоить?

Ученик: Снизили на 10% и повысили на 10% — значит, снова 800?
Учитель: Ловушка! Проценты считаются каждый раз от НОВОЙ цены.
После снижения: 800 · 0,9 = 720.
После повышения: 720 · 1,1 = 792.
Цена не вернулась, потому что 10% от 720 меньше, чем 10% от 800.
Ответ: 792 руб.

ЗАДАНИЕ 23. В классе 30 учеников. Мальчиков на 4 больше, чем девочек. Сколько девочек?

Ученик: Пусть девочек x, тогда мальчиков x + 4.
Учитель: Верно. Составляем уравнение: x + (x + 4) = 30, то есть 2x = 26,
значит x = 13. Проверка: девочек 13, мальчиков 17, вместе 30, разница 4.
Ответ: 13.

ЗАДАНИЕ 24. Один из смежных углов в 4 раза больше другого. Найди оба угла.

Ученик: Смежные углы в сумме 180°?
Учитель: Да. Пусть меньший угол — x, тогда больший 4x. Составляем:
x + 4x = 180, то есть 5x = 180, значит x = 36. Больший: 4 · 36 = 144.
Проверка: 36 + 144 = 180. ✔
Ответ: 36° и 144°.

ЗАДАНИЕ 25. Сколько диагоналей у выпуклого 12-угольника?

Ученик: Из каждой вершины можно провести диагональ куда угодно?
Учитель: Почти. Диагональ не идёт в саму вершину и не идёт в две соседние
(с соседями соединяют стороны). Значит, из каждой вершины: 12 − 3 = 9
диагоналей. Всего вершин 12: 9 · 12 = 108. Но каждую диагональ мы так
посчитали ДВАЖДЫ — один раз от каждого конца. Поэтому 108 : 2 = 54.
Формула для n-угольника: n(n − 3)/2.
Ответ: 54.


🎁 Отличная работа! Ты прошёл диагностику 6 класса.
Не расстраивайся, если что-то не срослось — именно для этого мы её и проходим.
Разберём всё на занятии. — Лилия