ДИАГНОСТИКА · 6 КЛАСС · ГЕОМЕТРИЯ
Разбор заданий в формате диалога «ученик — учитель»
Файл для печати. lili.math


======================================================================
УРОВЕНЬ 1. РАЗМИНКА (задания 1–10)
======================================================================

ЗАДАНИЕ 1. Один из смежных углов 65°. Найди второй.

Ученик: Смежные — это какие?
Учитель: Два угла с общей стороной, у которых другие стороны образуют
прямую. Главное свойство: они в сумме дают 180°. Значит, второй угол:
180 − 65 = 115.
Ответ: 115°.

ЗАДАНИЕ 2. Один из вертикальных углов 40°. Найди остальные три.

Ученик: Вертикальные — наверное, равные?
Учитель: Да! Вертикальные углы (у которых стороны продолжения друг друга)
всегда равны. Значит, угол вертикальный данному — тоже 40°. Два оставшихся
угла смежные с ним: 180 − 40 = 140. Итого: 40°, 140°, 140°.
Ответ: 40°, 140°, 140°.

ЗАДАНИЕ 3. Два угла треугольника 60° и 70°. Найди третий.

Ученик: Сумма углов треугольника — 180°: 180 − 60 − 70 = 50.
Учитель: Верно.
Ответ: 50°.

ЗАДАНИЕ 4. Сумма углов треугольника равна…

Учитель: Это фундаментальный факт: у ЛЮБОГО треугольника — хоть маленького,
хоть огромного — сумма углов 180°. Его мы использовали в предыдущем задании.
Ответ: 180°.

ЗАДАНИЕ 5. Сколько градусов в 2/9 развёрнутого угла?

Ученик: Развёрнутый — 180°. 180 : 9 = 20, 20 · 2 = 40.
Учитель: Верно: 2/9 · 180° = 40°.
Ответ: 40°.

ЗАДАНИЕ 6. Точка A(3; 5). В какой четверти?

Ученик: x = 3 — положительный, y = 5 — тоже.
Учитель: И то и другое положительное — это первая четверть. Запомни обход:
первая (+; +), вторая (−; +), третья (−; −), четвёртая (+; −) — против
часовой стрелки.
Ответ: I четверть.

ЗАДАНИЕ 7. Расстояние между A(2; 0) и B(8; 0).

Ученик: Обе на оси Ox… значит 8 − 2 = 6.
Учитель: Верно. У точек одинаковая ордината (y = 0), поэтому расстояние —
разность абсцисс.
Ответ: 6.

ЗАДАНИЕ 8. Масштаб 1 : 100 000. 1 см на карте = … см на местности.

Учитель: Масштаб показывает, во сколько раз карта меньше реальности.
1 : 100 000 значит: 1 см на карте соответствует 100 000 см на местности.
Ответ: 100 000.

ЗАДАНИЕ 9. Радиус окружности 5 см. Диаметр?

Ученик: Диаметр — через центр, это два радиуса: 2 · 5 = 10.
Учитель: Верно: d = 2r.
Ответ: 10 см.

ЗАДАНИЕ 10. Длина окружности с радиусом 3 см (π ≈ 3,14).

Ученик: Формула C = 2πr: 2 · 3,14 · 3 = 18,84.
Учитель: Верно. Запомни обе формулы: C = 2πr и C = πd.
Ответ: 18,84 см.


======================================================================
УРОВЕНЬ 2. ИСПЫТАНИЕ (задания 11–20)
======================================================================

ЗАДАНИЕ 11. Углы треугольника относятся как 2 : 3 : 4. Найди каждый.

Ученик: Пусть углы 2k, 3k, 4k. Их сумма 180°: 9k = 180, k = 20.
Учитель: Дальше: 2 · 20 = 40, 3 · 20 = 60, 4 · 20 = 80. Проверка:
40 + 60 + 80 = 180 ✔.
Ответ: 40°, 60°, 80°.

ЗАДАНИЕ 12. Равнобедренный треугольник, угол при вершине 40°. Углы при основании?

Ученик: Они равны. (180 − 40) : 2 = 70.
Учитель: Верно: 70° и 70°. Проверка: 40 + 70 + 70 = 180 ✔.
Ответ: 70° и 70°.

ЗАДАНИЕ 13. Равносторонний треугольник. Каждый угол?

Ученик: Все равны: 180 : 3 = 60.
Учитель: Верно. У равностороннего треугольника все углы по 60° — всегда,
какой бы он ни был по размеру.
Ответ: 60°.

ЗАДАНИЕ 14. Прямоугольный треугольник, острый угол 30°. Второй острый?

Ученик: Прямой 90°, значит острые вместе 90°: 90 − 30 = 60.
Учитель: Верно. Полезный факт: в прямоугольном треугольнике острые углы
в сумме дают 90°.
Ответ: 60°.

ЗАДАНИЕ 15. Площадь прямоугольника A(0;0), B(6;0), C(6;4), D(0;4).

Ученик: Стороны 6 и 4: S = 6 · 4 = 24.
Учитель: Верно. Координаты удобны тем, что длины сторон читаются напрямую
из разности координат.
Ответ: 24 см².

ЗАДАНИЕ 16. Точки A(1;2), B(4;2), C(4;6). Что получится?

Ученик: AB горизонтальна (у обеих y = 2), BC вертикальна (у обеих x = 4).
Учитель: Значит угол B — прямой, а фигура — треугольник. Причём AB = 3,
BC = 4 — разносторонний, прямоугольный треугольник.
Ответ: прямоугольный треугольник.

ЗАДАНИЕ 17. Периметр треугольника A(0;0), B(4;0), C(4;3).

Ученик: AB = 4, BC = 3, а AC — гипотенуза: 3² + 4² = 25, AC = 5.
Учитель: Верно, тот самый треугольник 3-4-5! Периметр: 4 + 3 + 5 = 12.
Ответ: 12 см.

ЗАДАНИЕ 18. Диаметр 10 см. Длина окружности (π ≈ 3,14).

Ученик: C = πd = 3,14 · 10 = 31,4.
Учитель: Верно.
Ответ: 31,4 см.

ЗАДАНИЕ 19. Площадь круга радиуса 4 см (π ≈ 3,14).

Ученик: S = πr² = 3,14 · 16 = 50,24.
Учитель: Верно. Следи: радиус возводится в КВАДРАТ, а не умножается на 2 —
частая ошибка.
Ответ: 50,24 см².

ЗАДАНИЕ 20. Масштаб 1 : 50 000, на карте 3 см. Сколько на местности (в км)?

Ученик: 3 · 50 000 = 150 000 см…
Учитель: …и теперь переведём в километры. 150 000 см = 1500 м = 1,5 км.
(Здесь: 100 000 см = 1 км.)
Ответ: 1,5 км.


======================================================================
УРОВЕНЬ 3. ВЫЗОВ (задания 21–25)
======================================================================

ЗАДАНИЕ 21. Сколько диагоналей у выпуклого 12-угольника? Выведи формулу.

Ученик: Из каждой вершины: 12 − 3 = 9…
Учитель: Верно. 12 · 9 = 108, каждая диагональ посчитана дважды: 108 : 2 = 54.
Общая формула для n-угольника: n(n − 3)/2. Проверь на знакомом случае:
у четырёхугольника 4 · 1 / 2 = 2 диагонали — верно, как у любого
четырёхугольника.
Ответ: 54.

ЗАДАНИЕ 22. Равнобедренный треугольник, угол при основании 70°. Угол при вершине?

Ученик: Оба угла при основании по 70°: 180 − 140 = 40.
Учитель: Верно.
Ответ: 40°.

ЗАДАНИЕ 23. Из проволоки 30 см согнули прямоугольник со стороной 5 см. Площадь?

Ученик: Проволока — периметр. Полупериметр: 30 : 2 = 15, вторая сторона
15 − 5 = 10. Площадь: 5 · 10 = 50.
Учитель: Верно, два аккуратных шага.
Ответ: 50 см².

ЗАДАНИЕ 24. Площадь круга, вписанного в квадрат со стороной 8 см (π ≈ 3,14).

Ученик: Вписанный круг касается всех сторон, значит его диаметр — 8,
радиус 4. S = 3,14 · 16 = 50,24.
Учитель: Верно. Ключевой шаг — понять, что диаметр вписанной окружности
равен стороне квадрата.
Ответ: 50,24 см².

ЗАДАНИЕ 25. Точки A(0;0), B(6;0), C(3;4) — вершины треугольника. Найди площадь.

Ученик: AB = 6 — основание. Высота — это расстояние от C до оси Ox, то есть 4.
Учитель: Именно так! Точка C имеет ординату 4, значит высота опущенная
на AB, равна 4. S = 1/2 · 6 · 4 = 12.
Ответ: 12 см².


🎁 Отличная работа! Ты прошёл диагностику по геометрии 6 класса.
Разберём всё, что осталось непонятным, на занятии. — Лилия