ДИАГНОСТИКА · 5 КЛАСС · ГЕОМЕТРИЯ
Разбор заданий в формате диалога «ученик — учитель»
Файл для печати. lili.math


======================================================================
УРОВЕНЬ 1. РАЗМИНКА (задания 1–10)
======================================================================

ЗАДАНИЕ 1. Прямоугольник со сторонами 6 см и 4 см. Найди периметр.

Ученик: Периметр — это сумма всех сторон?
Учитель: Да. У прямоугольника противоположные стороны равны, поэтому
P = 2 · (6 + 4) = 2 · 10 = 20.
Ответ: 20 см.

ЗАДАНИЕ 2. Тот же прямоугольник 6 см и 4 см. Найди площадь.

Ученик: Площадь — это длина на ширину?
Учитель: Да: S = 6 · 4 = 24. Заметь: периметр и площадь — разные вещи,
у периметра единицы см, у площади — см².
Ответ: 24 см².

ЗАДАНИЕ 3. Квадрат со стороной 5 см. Найди периметр.

Ученик: У квадрата все стороны равны, значит P = 4 · 5 = 20.
Учитель: Верно! 4 + 4 + 4 + 4 можно, но быстрее — 4 · 5.
Ответ: 20 см.

ЗАДАНИЕ 4. Тот же квадрат. Найди площадь.

Ученик: S = 5 · 5 = 25.
Учитель: Да. У квадрата площадь — это сторона, умноженная сама на себя,
то есть «сторона в квадрате»: 5² = 25.
Ответ: 25 см².

ЗАДАНИЕ 5. Сколько градусов в прямом угле?

Ученик: Как у угла тетрадного листа?
Учитель: Именно так: прямой угол — это 90°. Это стоит знать наизусть.
Ответ: 90°.

ЗАДАНИЕ 6. Сколько градусов в развёрнутом угле?

Ученик: Развёрнутый — это когда стороны образуют прямую?
Учитель: Да, это два прямых угла подряд: 90° + 90° = 180°.
Ответ: 180°.

ЗАДАНИЕ 7. Отрезок 4 см, отметили середину. Чему равны половины?

Учитель: Середина делит отрезок на два РАВНЫХ кусочка: 4 : 2 = 2.
Именно поэтому она и называется серединой.
Ответ: 2 см.

ЗАДАНИЕ 8. Треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см. Найди периметр.

Ученик: P = 3 + 4 + 5 = 12.
Учитель: Верно. Кстати, треугольник 3-4-5 — знаменитый: он прямоугольный,
мы встретимся с ним ещё не раз.
Ответ: 12 см.

ЗАДАНИЕ 9. Фигура: 4 стороны, все равны, все углы прямые.

Ученик: Ромб тоже имеет 4 равные стороны…
Учитель: Верно, но у ромба углы не обязательно прямые. Прямоугольник имеет
прямые углы, но стороны у него только ПОПАРНО равны. А здесь и то, и другое:
4 равные стороны + прямые углы — это квадрат.
Ответ: квадрат.

ЗАДАНИЕ 10. Переведи: 2 м = … см.

Учитель: В одном метре 100 см. Значит, 2 м = 2 · 100 = 200 см.
Ответ: 200.


======================================================================
УРОВЕНЬ 2. ИСПЫТАНИЕ (задания 11–20)
======================================================================

ЗАДАНИЕ 11. Комната 5 м × 4 м. Найди площадь пола.

Ученик: Пол — это прямоугольник: S = 5 · 4 = 20.
Учитель: Верно. Только не забывай единицы: это 20 м², а не см².
Ответ: 20 м².

ЗАДАНИЕ 12. Комната 5 м × 4 м. Сколько плиток 50 × 50 см нужно, чтобы покрыть пол?

Ученик: Надо поделить площадь пола на площадь плитки?
Учитель: Да, но сначала приведи к ОДИНАКОВЫМ единицам. Пол: 5 · 4 = 20 м² =
= 200 000 см² (1 м² = 10 000 см²). Плитка: 50 · 50 = 2500 см².
200 000 : 2500 = 80.
Ответ: 80 плиток.

ЗАДАНИЕ 13. Периметр квадрата 36 см. Найди сторону.

Ученик: P = 4 · сторона, значит сторона = 36 : 4 = 9.
Учитель: Верно. Обратная задача к третьему заданию разминки.
Ответ: 9 см.

ЗАДАНИЕ 14. Периметр прямоугольника 30 см, одна сторона 7 см. Найди вторую.

Ученик: P = 2(a + b), значит a + b = 30 : 2 = 15, и b = 15 − 7 = 8.
Учитель: Отличный ход! Сначала нашёл полупериметр — половину суммы сторон.
Ответ: 8 см.

ЗАДАНИЕ 15. Один из смежных углов равен 65°. Найди второй.

Ученик: Смежные углы в сумме 180°: 180 − 65 = 115.
Учитель: Верно. Смежные — это два угла, у которых одна сторона общая,
а две другие образуют прямую.
Ответ: 115°.

ЗАДАНИЕ 16. Один из смежных углов в 4 раза больше другого. Найди оба.

Ученик: Меньший x, больший 4x, вместе 180: 5x = 180, x = 36; больший 144.
Учитель: Всё так. Проверка: 36 + 144 = 180 и 144 = 36 · 4. ✔
Ответ: 36° и 144°.

ЗАДАНИЕ 17. Площадь прямоугольника 48 см², одна сторона 6 см. Найди вторую.

Ученик: S = a · b, значит b = 48 : 6 = 8.
Учитель: Верно. Площадь делим на известную сторону.
Ответ: 8 см.

ЗАДАНИЕ 18. Сколько кубиков 1×1×1 поместится в коробку 3×4×5?

Ученик: Это объём: 3 · 4 · 5 = 60.
Учитель: Да. Каждый кубик занимает 1 см³, значит кубиков поместится столько,
сколько кубических сантиметров в коробке.
Ответ: 60 кубиков.

ЗАДАНИЕ 19. Прямоугольник 8 × 3 разрезали пополам по длине. Площадь каждой части?

Ученик: Площадь целого: 8 · 3 = 24. Каждая часть: 24 : 2 = 12.
Учитель: Верно. Разрез не меняет общую площадь — она просто делится
между частями.
Ответ: 12 см².

ЗАДАНИЕ 20. Из проволоки 24 см согнули квадрат. Найди его площадь.

Ученик: Проволока — это периметр. Сторона: 24 : 4 = 6. Площадь: 6 · 6 = 36.
Учитель: Верно и красиво: периметр → сторона → площадь, два шага.
Ответ: 36 см².


======================================================================
УРОВЕНЬ 3. ВЫЗОВ (задания 21–25)
======================================================================

ЗАДАНИЕ 21. Из квадрата 8×8 вырезали прямоугольник 3×5. Площадь остатка?

Ученик: 8 · 8 = 64, вырезали 3 · 5 = 15, осталось 64 − 15 = 49.
Учитель: Верно. Приём называется «дополнение до целого»: большая фигура
минус вырезанная часть.
Ответ: 49 см².

ЗАДАНИЕ 22. Периметр прямоугольника 40 см, одна сторона в 3 раза больше другой.

Ученик: Меньшая x, большая 3x. P = 2(x + 3x) = 8x = 40, значит x = 5,
большая 15.
Учитель: Верно. Проверка: 2 · (5 + 15) = 40 ✔.
Ответ: 5 см и 15 см.

ЗАДАНИЕ 23. Сколько диагоналей у выпуклого 12-угольника?

Ученик: Из каждой вершины 12 − 3 = 9 диагоналей…
Учитель: Верно мыслишь! Минус 3 — это сама вершина и два соседа (с ними
соединяют СТОРОНЫ, а не диагонали). Тогда 9 · 12 = 108, но каждую диагональ
мы посчитали дважды: 108 : 2 = 54.
Ответ: 54.

ЗАДАНИЕ 24. Прямоугольник 10 × 6 разрезали на два одинаковых прямоугольника. Периметр каждого?

Ученик: А как именно разрезали?
Учитель: Хороший вопрос — от него зависит ответ! Если разрезать пополам
по длинной стороне (параллельно короткой), получится два прямоугольника
5 × 6: P = 2 · (5 + 6) = 22. Если же разрезать параллельно длинной стороне,
получится два прямоугольника 10 × 3: P = 26. В задании подразумевается
первый вариант — разрез по длине.
Ответ: 22 см.

ЗАДАНИЕ 25. Квадрат и прямоугольник имеют одинаковый периметр 24 см, стороны прямоугольника 5 и 7. У кого площадь больше и на сколько?

Ученик: Прямоугольник: P = 2 · (5 + 7) = 24 ✔, S = 5 · 7 = 35.
Учитель: А теперь квадрат: сторона 24 : 4 = 6, S = 6 · 6 = 36.
Сравниваем: 36 − 35 = 1. У квадрата больше!
Запомни красивый факт: при одинаковом периметре квадрат всегда «выгоднее»
прямоугольника — у него площадь больше.
Ответ: у квадрата, на 1 см².


🎁 Молодец! Ты прошёл диагностику по геометрии 5 класса.
Разберём всё, что осталось непонятным, на занятии. — Лилия