Всё для доски: геометрия и вероятность
Опорные листы по списку тем ОГЭ. Открывайте на доске, разбирайте по карточкам, переписывайте нужные схемы прямо в урок.
Г
Геометрия
Четырёхугольники признаки и свойства
Иерархия: квадрат — это и прямоугольник, и ромб; ромб и прямоугольник — параллелограммы.
| Фигура | Главные свойства | Признаки (чем отличить) |
|---|---|---|
| Параллелограмм | Противоположные стороны ∥ и равны; противолежащие углы равны; диагонали делятся точкой пересечения пополам; ∠A + ∠B = 180° | 1) две стороны ∥ и равны; 2) противоположные стороны попарно равны; 3) диагонали пересекаются и делятся пополам; 4) противолежащие углы равны |
| Прямоугольник | Все углы 90°; диагонали равны | Параллелограмм с одним прямым углом или равными диагоналями |
| Ромб | Все стороны равны; диагонали ⊥ и делят углы пополам | Параллелограмм с равными смежными сторонами или ⊥ диагоналями |
| Квадрат | Всё сразу: углы 90°, стороны равны, диагонали равны и ⊥ | Прямоугольник с равными сторонами; ромб с прямым углом |
| Трапеция | Две стороны ∥ (основания), две не ∥ (боковые). Равнобедренная: углы при основании равны, диагонали равны | По определению. Средняя линия ∥ основаниям |
Теорема Фалеса и средние линии пропорции
Теорема Фалеса: параллельные прямые, отсекающие на одной стороне угла равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой стороне. В любом случае отношения отрезков равны: A₁A₂ / A₂A₃ = B₁B₂ / B₂B₃
Средняя линия треугольника
MN = ½ · AB, MN ∥ AB
Соединяет середины двух сторон
Средняя линия трапеции
MN = (a + b) / 2, MN ∥ a, b
Полусумма оснований
Площади многоугольников формулы
Прямоугольник
S = a · b
Квадрат
S = a²
Параллелограмм
S = a · h
Треугольник
S = ½ · a · h
Треугольник (две стороны и угол)
S = ½ · a · b · sin C
Ромб
S = ½ · d₁ · d₂
Трапеция
S = (a + b) / 2 · h
Треугольник (Герон)
S = √p(p−a)(p−b)(p−c), p = (a+b+c)/2
- Равные фигуры имеют равные площади; площадь делится диагоналями и медианами на части.
- Медиана делит треугольник на два равновеликих (равных по площади).
Теорема Пифагора прямоугольный треугольник
α — острый угол, c — гипотенуза
Пифагор: в прямоугольном треугольнике a² + b² = c²
- Обратная теорема: если a² + b² = c², угол прямой.
- Классика: 3-4-5 (египетский треугольник).
- Гипотенуза всегда больше любого катета.
Подобные треугольники коэффициент k
Подобие (≈): углы соответственно равны, стороны пропорциональны. Коэффициент подобия k = отношение соответствующих сторон.
Масштаб
периметры ∶ k, площади ∶ k²
Признаки подобия
1) по двум углам;
2) по двум пропорциональным сторонам и углу между ними;
3) по трём пропорциональным сторонам
2) по двум пропорциональным сторонам и углу между ними;
3) по трём пропорциональным сторонам
Синус, косинус, тангенс острый угол
sin α = a / c
cos α = b / c
tg α = a / b = sin α / cos α
Основное тождество: sin²α + cos²α = 1
| Угол | 30° | 45° | 60° |
|---|---|---|---|
| sin | 1/2 | √2/2 | √3/2 |
| cos | √3/2 | √2/2 | 1/2 |
| tg | √3/3 | 1 | √3 |
Окружность касательные и углы
Прямая и окружность (d — расстояние от центра до прямой)
- d < r — секущая, две общие точки
- d = r — касательная, одна точка; касательная ⊥ радиусу в точке касания
- d > r — нет общих точек
- Отрезки касательных из одной точки равны: MA = MB
Центральный и вписанный угол
- Вписанные углы на одной дуге равны
- Угол на диаметре = 90°
- Вписанный четырёхугольник (в окружности): ∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 180°.
- Описанный четырёхугольник (около окружности): a + c = b + d (суммы противоположных сторон равны).
Замечательные точки треугольника
Медианы → центроид (центр тяжести), делит медианы 2:1
Высоты → ортоцентр
Высоты → ортоцентр
Биссектрисы → центр вписанной окружности
Серединные перпендикуляры → центр описанной окружности
Серединные перпендикуляры → центр описанной окружности
В
Вероятность и статистика
Статистика дисперсия и разброс
Среднее арифметическое
x̄ = (x₁ + x₂ + … + xn) / n
Размах
R = xmax − xmin
Дисперсия
D = x̄² − (x̄)² = среднее квадратов − квадрат среднего
Стандартное отклонение
σ = √D
- Мода — самое частое значение; медиана — середина упорядоченного ряда.
- Диаграмма рассеивания — точки (x; y): показывает связь двух признаков (рост/вес, цена/спрос).
Множества Эйлер–Венн
Множество — совокупность объектов (элементов). A ⊆ B — подмножество.
Дополнение Ā — всё, чего нет в A.
Дополнение Ā — всё, чего нет в A.
A ∪ B — объединение («или»)
A ∩ B — пересечение («и»)
Диаграмма Эйлера
Объединение — обе области, пересечение — линза
Вероятность события и правила
Классическая вероятность: P(A) = m/n, где m — благоприятные исходы, n — все равновозможные исходы. Всегда 0 ≤ P ≤ 1.
- Противоположное событие: P(Ā) = 1 − P(A).
- Несовместные события (не могут вместе): P(A∪B) = P(A) + P(B). Для совместных: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B).
- Правило умножения: P(A∩B) = P(A) · P(B|A) — «и» означает произведение.
- Условная вероятность P(B|A) — вероятность B при условии, что A уже произошло.
- Независимые события: P(A∩B) = P(A) · P(B) — исход одного не влияет на другой.
Дерево случайного эксперимента
Вероятность пути — произведение ветвей; итог — сумма по нужным исходам.
Дерево как граф
- Вершины + рёбра, без циклов
- Между любыми двумя вершинами — единственный путь
- n вершин ⇒ ровно n − 1 ребро
lili.math · опорные материалы для интерактивной доски · открыть доску